Pengembangan program untuk melakukan perhitungan matriks. Program komputer untuk matematika

Tinggalkan komentar 6,950

Simbolik, atau, sebagaimana juga dikatakan, matematika komputer atau aljabar komputer, adalah bagian besar dari pemodelan matematika. Pada prinsipnya, program semacam ini dapat digolongkan sebagai program rekayasa desain berbantuan komputer. Jadi, di daerah tersebut desain teknik Ada tiga bagian utama:

CAD - Desain Berbantuan Komputer;
CAM - Manufaktur Berbantuan Komputer;
CAE - Teknik Berbantuan Komputer.

Saat ini, teknik serius, perencanaan kota dan arsitektur, teknik elektro dan sejumlah industri terkait, serta lembaga pendidikan orientasi teknis tidak dapat lagi dilakukan tanpa desain berbantuan komputer (CAD), sistem produksi dan perhitungan. Dan paket matematika adalah bagian integral dunia sistem CAE, tetapi bagian ini sama sekali tidak dapat dianggap sekunder, karena beberapa masalah tidak dapat diselesaikan sama sekali tanpa bantuan komputer. Terlebih lagi, saat ini bahkan para ahli teori (yang disebut ahli matematika murni, bukan matematikawan terapan) menggunakan sistem matematika simbolik, misalnya, untuk menguji hipotesis mereka.

Sekitar 10 tahun yang lalu, sistem ini dianggap murni profesional, namun pertengahan tahun 90an menjadi titik balik bagi pasar global sistem CAD/CAM/CAE untuk penggunaan massal. Kemudian, untuk pertama kalinya dalam waktu yang lama, paket pemodelan parametrik dengan kemampuan industri tersedia bagi pengguna komputer pribadi. Pencipta sistem tersebut memperhitungkan kebutuhan berbagai pengguna dan dengan demikian memberikan kesempatan kepada puluhan ribu insinyur dan ahli matematika untuk menggunakannya di tempat kerja pribadi mereka. prestasi terbaru ilmu di bidang teknologi sistem CAD/CAM/CAE.

Jadi apa yang bisa dilakukan oleh program pemodelan matematika? Apakah hal tersebut benar-benar mengharuskan ilmuwan untuk dapat memprogram dalam bahasa algoritmik tertentu, melakukan debug pada program, menangkap kesalahan, dan menghabiskan banyak waktu untuk mendapatkan hasil? Tidak, masa-masa itu sudah lama berlalu, dan sekarang paket matematika menggunakan prinsip konstruksi model, bukan “seni pemrograman” tradisional. Artinya, pengguna hanya mengajukan masalah, dan sistem menemukan metode dan algoritma untuk menyelesaikannya sendiri. Selain itu, operasi rutin seperti membuka tanda kurung, mengubah ekspresi, mencari akar persamaan, turunan, dan integral tak tentu dilakukan secara independen oleh komputer dalam bentuk simbolis, dan hampir tanpa campur tangan pengguna.

Paket matematika modern dapat digunakan baik sebagai kalkulator biasa, dan sebagai sarana untuk menyederhanakan ekspresi saat memecahkan masalah apa pun, dan sebagai generator grafik atau bahkan suara! Antarmuka dengan Internet juga menjadi standar, dan halaman HTML kini dibuat sebagai bagian dari proses penghitungan. Sekarang Anda dapat memecahkan suatu masalah dan pada saat yang sama mempublikasikan kemajuan solusinya kepada rekan-rekan Anda di halaman beranda Anda.

Kita dapat berbicara tentang program pemodelan matematika dan kemungkinan penerapannya untuk waktu yang sangat lama, tetapi kita akan membatasi diri pada gambaran singkat tentang program-program terkemuka, yang menunjukkan ciri-ciri umum dan perbedaannya. Saat ini, hampir semua program CAE modern memiliki fungsi perhitungan simbolik bawaan. Namun, Maple, MathCad, Mathematica dan MatLab dianggap paling terkenal dan cocok untuk perhitungan simbol matematis. Namun, saat meninjau program matematika simbolik utama, kami juga akan menunjukkan kemungkinan alternatif yang secara ideologis mirip dengan satu atau beberapa paket unggulan.

Jadi, apa fungsi program ini dan bagaimana membantu para matematikawan? Mata kuliah analisis matematis di perguruan tinggi didasarkan pada konsep-konsep seperti limit, turunan, antiturunan fungsi, integral berbagai jenis, deret dan persamaan diferensial. Siapa pun yang akrab dengan dasar-dasar matematika tingkat tinggi mungkin mengetahui lusinan aturan untuk mencari limit, mengambil integral, mencari turunan, dll. Jika Anda menambahkan fakta bahwa untuk menemukan sebagian besar integral Anda juga perlu mengingat tabel integral dasar, Anda mendapatkan informasi yang sangat banyak. Dan jika Anda tidak berlatih memecahkan masalah seperti itu selama beberapa waktu, maka banyak hal yang akan cepat terlupakan dan untuk menemukan, misalnya, integral yang lebih kompleks, Anda harus mencari di buku referensi. Namun mengambil integral dan menemukan batasan dalam pekerjaan nyata bukanlah tujuan utama perhitungan. Tujuan sebenarnya adalah untuk memecahkan masalah, dan perhitungan hanyalah langkah perantara menuju solusi ini.

Dengan menggunakan perangkat lunak yang dijelaskan, Anda dapat menghemat banyak waktu dan menghindari banyak kesalahan dalam perhitungan. Tentu saja, sistem CAE tidak terbatas pada kemampuan ini saja, namun dalam tinjauan ini kami akan fokus pada kemampuan tersebut.

Kami hanya mencatat bahwa cakupan masalah yang diselesaikan oleh sistem seperti itu sangat luas:

melakukan penelitian matematis yang memerlukan perhitungan dan perhitungan analitis;
pengembangan dan analisis algoritma;
pemodelan matematika dan eksperimen komputer;
analisis dan pemrosesan data;
visualisasi, grafik ilmiah dan teknik;
pengembangan aplikasi grafik dan perhitungan.

Namun, kami mencatat bahwa karena sistem CAE berisi operator untuk perhitungan dasar, hampir semua algoritma yang tidak termasuk dalam fungsi standar dapat diimplementasikan dengan menulis program Anda sendiri.

Matematika (http://www.wolfram.com/)

ruang disk 400-550 MB;
sistem operasi: Windows 98/Me/NT 4.0/2000/2003 Server/2003x64/XP/XP x64.

Wolfram Reseach, Inc., yang mengembangkan sistem matematika komputer Mathematica, dianggap sebagai pemain tertua dan paling mapan di bidang ini. Paket Mathematica (versi saat ini 5.2) banyak digunakan dalam perhitungan penelitian ilmiah modern dan telah dikenal luas di lingkungan ilmiah dan pendidikan. Anda bahkan dapat mengatakan bahwa Mathematica memiliki redundansi fungsional yang signifikan (khususnya, bahkan terdapat kemampuan untuk mensintesis suara).

Namun, sistem matematika yang kuat, yang diklaim sebagai pemimpin dunia, sepertinya tidak dibutuhkan oleh seorang sekretaris atau bahkan direktur sebuah perusahaan komersial kecil, apalagi pengguna biasa. Namun, tidak diragukan lagi, laboratorium ilmiah atau departemen universitas mana pun harus memiliki program serupa jika mereka benar-benar tertarik untuk mengotomatisasi kinerja perhitungan matematis dengan tingkat kerumitan apa pun. Meskipun fokusnya pada perhitungan matematis yang serius, sistem kelas Mathematica mudah dipelajari dan dapat digunakan oleh kategori pengguna yang cukup luas - mahasiswa dan guru, insinyur, mahasiswa pascasarjana, peneliti, dan bahkan siswa di kelas matematika pada pendidikan umum dan khusus. sekolah. Semuanya akan menemukan banyak kemungkinan berguna untuk diterapkan dalam sistem seperti itu.

Pada saat yang sama, fungsi program yang ekstensif tidak membebani antarmukanya dan tidak memperlambat perhitungan. Mathematica secara konsisten menunjukkan transformasi simbolik dan perhitungan numerik berkecepatan tinggi. Dari semua sistem yang dipertimbangkan, program Mathematica adalah yang paling lengkap dan universal, namun setiap program memiliki kelebihan dan kekurangannya masing-masing. Dan yang terpenting, mereka memiliki pengikutnya sendiri, yang tidak ada gunanya diyakinkan akan keunggulan sistem lain. Tetapi mereka yang serius bekerja dengan sistem matematika komputer sebaiknya menggunakan beberapa program, karena hanya ini yang menjamin tingkat keandalan perhitungan yang rumit.

Perhatikan bahwa dalam pengembangan berbagai versi sistem Mathematica, bersama dengan perusahaan induk Wolfram Research, Inc., perusahaan lain dan ratusan spesialis berkualifikasi tinggi, termasuk ahli matematika dan pemrogram, ikut serta. Diantaranya juga ada perwakilan perusahaan yang disegani dan diminati di luar negeri sekolah matematika Rusia. Sistem Mathematica adalah salah satu yang terbesar sistem perangkat lunak dan mengimplementasikan algoritma perhitungan yang paling efisien. Ini termasuk, misalnya, mekanisme konteks, yang menghilangkan munculnya efek samping dalam program.

Sistem Mathematica saat ini dianggap sebagai pemimpin dunia di antara sistem matematika simbolik komputer untuk PC, tidak hanya memberikan kemampuan untuk melakukan perhitungan numerik yang kompleks dengan keluaran hasilnya dalam bentuk grafik paling canggih, tetapi juga melakukan pekerjaan yang sangat padat karya. transformasi analitis dan perhitungan. Versi sistem untuk Windows memiliki antarmuka pengguna modern dan memungkinkan Anda menyiapkan dokumen dalam bentuk Notebook (buku catatan). Mereka menggabungkan data awal, deskripsi algoritma pemecahan masalah, program dan hasil solusi dalam berbagai bentuk (rumus matematika, angka, vektor, matriks, tabel dan grafik).

Mathematica dipahami sebagai sistem yang akan mengotomatiskan pekerjaan ilmuwan dan ahli matematika analitik sebanyak mungkin, sehingga layak untuk dipelajari bahkan sebagai perwakilan khas dari produk perangkat lunak elit dan sangat cerdas dengan tingkat kompleksitas tertinggi. Namun, hal ini jauh lebih menarik karena merupakan perangkat matematika yang kuat dan fleksibel yang dapat memberikan bantuan yang sangat berharga bagi sebagian besar ilmuwan, guru universitas, mahasiswa, insinyur, dan bahkan anak sekolah.

Sejak awal, banyak perhatian diberikan pada grafik, termasuk grafis dinamis, dan bahkan kemampuan multimedia - reproduksi animasi dinamis dan sintesis suara. Kisaran fungsi grafis dan opsi yang mengubah efeknya sangat luas. Grafik selalu menjadi kekuatan berbagai versi sistem Mathematica dan memberi mereka kepemimpinan di antara sistem matematika komputer.

Hasilnya, Mathematica dengan cepat mengambil posisi terdepan di pasar sistem matematika simbolik. Yang paling menarik adalah kemampuan grafis sistem yang luas dan penerapan antarmuka tipe Notebook. Pada saat yang sama, sistem menyediakan koneksi dinamis antara sel-sel dokumen dalam gaya spreadsheet, bahkan ketika memecahkan masalah simbolis, yang secara mendasar dan menguntungkan membedakannya dari sistem serupa lainnya.

Omong-omong, tempat sentral dalam sistem kelas Mathematica, ia menempati inti operasi matematika yang tidak bergantung pada mesin, yang memungkinkan sistem ditransfer ke berbagai platform komputer. Untuk mentransfer sistem ke platform komputer lain, prosesor antarmuka perangkat lunak Front End digunakan. Dialah yang menentukan jenis antarmuka pengguna yang dimiliki sistem, yaitu prosesor antarmuka sistem Mathematica untuk platform lain mungkin memiliki nuansa tersendiri. Kernel dibuat cukup kompak sehingga fungsi apa pun dapat dipanggil dengan sangat cepat. Untuk memperluas kumpulan fungsi, gunakan Perpustakaan dan kumpulan Paket Tambahan. Paket ekstensi disiapkan dalam bahasa pemrograman sistem Mathematica sendiri dan merupakan sarana utama untuk mengembangkan kemampuan sistem dan mengadaptasinya untuk memecahkan kelas masalah pengguna tertentu. Selain itu, sistem ini memiliki sistem bantuan elektronik bawaan - Bantuan, yang berisi buku elektronik dengan contoh nyata.

Jadi, Mathematica, di satu sisi, adalah sistem pemrograman tipikal yang didasarkan pada salah satu bahasa pemrograman fungsional tingkat tinggi berorientasi masalah yang paling kuat, dirancang untuk memecahkan berbagai masalah (termasuk masalah matematika), dan di sisi lain, sebuah sistem interaktif. sistem untuk menyelesaikan sebagian besar masalah matematika secara online tanpa pemrograman tradisional. Dengan demikian, Mathematica sebagai sistem pemrograman memiliki semua kemampuan untuk mengembangkan dan membuat hampir semua struktur kontrol, mengatur input-output, bekerja dengan fungsi sistem dan melayani perangkat periferal apa pun, dan dengan bantuan paket ekstensi (Add-on) hal ini menjadi mungkin untuk beradaptasi dengan kebutuhan setiap pengguna (walaupun rata-rata pengguna mungkin tidak memerlukan alat pemrograman ini - ia akan bertahan dengan fungsi matematika bawaan sistem, yang bahkan memukau ahli matematika berpengalaman dengan kelimpahan dan keragamannya).

Kerugian dari sistem Mathematica hanya mencakup bahasa pemrograman yang sangat tidak biasa, namun difasilitasi oleh sistem bantuan yang terperinci.

Alternatif yang lebih sederhana namun secara ideologis mirip dengan Mathematica mencakup paket seperti Maxima ( /) dan Kalamaris (developer.kde.org/~larrosa/kalamaris.html).

Perhatikan bahwa sistem Maxima adalah proyek open source non-komersial. Maxima menggunakan bahasa yang mirip dengan Mathematica untuk mengerjakan tugas matematika, dan antarmuka grafisnya mengikuti prinsip yang sama. Awalnya, program ini disebut Xmaxima dan dibuat untuk sistem UNIX.

Selain itu, Maxima kini memiliki antarmuka grafis lintas platform yang lebih kuat, efisien, dan ramah pengguna yang disebut Wxmaxima (http://wxmaxima.sourceforge.net). Dan meskipun proyek ini saat ini hanya ada dalam versi beta, secara bertahap proyek ini berubah menjadi alternatif yang sangat serius untuk sistem komersial.

Sedangkan untuk program Kalamaris juga merupakan proyek baru yang memiliki pendekatan dan ideologi yang mirip dengan sistem Mathematica. Proyek ini belum selesai, tetapi ini juga merupakan alternatif gratis yang bagus untuk monster komersial seperti Mathematica.

Maple (http://www.maplesoft.com/)

Persyaratan sistem minimum:

Prosesor Pentium III 650MHz;

ruang disk 400 MB;

Sistem operasi: Windows NT 4 (SP5)/98/ME/2000/2003 Server/XP Pro/XP Home.

program mapel ( versi terbaru 10.02) adalah sejenis patriark dalam keluarga sistem matematika simbolik dan masih menjadi salah satu pemimpin di antara sistem komputasi simbolik universal. Ini memberi pengguna lingkungan intelektual yang nyaman untuk penelitian matematika di tingkat mana pun dan sangat populer di komunitas ilmiah. Perhatikan bahwa penganalisis simbolik program Maple adalah bagian paling kuat dari perangkat lunak ini, sehingga dipinjam dan disertakan dalam sejumlah paket CAE lainnya, seperti MathCad dan MatLab, serta di Scientific WorkPlace dan Math Office untuk Word paket penyiapan publikasi ilmiah.

Paket Maple merupakan pengembangan bersama dari Universitas Waterloo (Ontario, Kanada) dan ETHZ, Zurich, Swiss. Sebuah perusahaan khusus diciptakan untuk penjualannya - Waterloo Maple, Inc., yang sayangnya, menjadi lebih terkenal karena studi matematis proyeknya daripada tingkat implementasi komersialnya. Hasilnya, sistem Maple sebelumnya hanya tersedia untuk kalangan profesional yang sempit. Sekarang perusahaan ini bekerja sama dengan perusahaan MathSoft, Inc., yang lebih sukses dalam perdagangan dan pengembangan antarmuka pengguna sistem matematika. - pencipta sistem perhitungan numerik MathCad yang sangat populer dan tersebar luas, yang telah menjadi standar internasional untuk perhitungan teknis.

Maple menyediakan lingkungan yang nyaman untuk eksperimen komputer, di mana pendekatan yang berbeda terhadap suatu masalah dicoba, solusi tertentu dianalisis, dan, jika pemrograman diperlukan, fragmen yang memerlukan kecepatan khusus dipilih. Paket ini memungkinkan Anda untuk membuat lingkungan terintegrasi dengan partisipasi sistem lain dan bahasa pemrograman tingkat tinggi universal. Ketika penghitungan telah dilakukan dan Anda perlu memformalkan hasilnya, Anda dapat menggunakan alat dalam paket ini untuk memvisualisasikan data dan menyiapkan ilustrasi untuk dipublikasikan. Untuk menyelesaikan pekerjaan, tinggal menyiapkan bahan cetak (laporan, artikel, buku) langsung di lingkungan Maple, kemudian dapat melanjutkan ke pembelajaran berikutnya. Pekerjaannya interaktif - pengguna memasukkan perintah dan segera melihat hasil pelaksanaannya di layar. Pada saat yang sama, paket Maple sama sekali tidak mirip dengan lingkungan pemrograman tradisional, yang memerlukan formalisasi ketat semua variabel dan tindakan dengannya. Di sini, pemilihan jenis variabel yang sesuai secara otomatis dipastikan dan kebenaran operasi diperiksa, sehingga dalam kasus umum tidak perlu mendeskripsikan variabel dan memformalkan pencatatan secara ketat.

Paket Maple terdiri dari inti (prosedur yang ditulis dalam C dan dioptimalkan dengan baik), perpustakaan yang ditulis dalam bahasa Maple, dan antarmuka eksternal yang dikembangkan. Kernel melakukan sebagian besar operasi dasar, dan perpustakaan berisi banyak perintah - prosedur yang dijalankan dalam mode interpretatif.

Antarmuka Maple didasarkan pada konsep lembar kerja, atau dokumen, yang berisi baris input/output dan teks, serta grafik.

Paket diproses dalam mode juru bahasa. Di baris masukan, pengguna menentukan perintah, menekan tombol Enter, dan menerima hasilnya - baris keluaran (atau baris) atau pesan tentang perintah yang dimasukkan secara salah. Undangan segera dikeluarkan untuk memasukkan perintah baru, dll.

Antarmuka maple

Jendela kerja (lembar) sistem Maple dapat digunakan baik sebagai lingkungan interaktif untuk memecahkan masalah, atau sebagai sistem untuk menyiapkan dokumentasi teknis. Grup eksekutif dan spreadsheet menyederhanakan interaksi pengguna dengan mesin Maple dengan berfungsi sebagai sarana utama yang digunakan untuk mengirim permintaan untuk melakukan tugas tertentu dan hasil keluaran ke sistem Maple. Kedua jenis alat utama ini memungkinkan input perintah Maple.

Sistem Maple memungkinkan Anda memasukkan spreadsheet yang berisi angka dan simbol. Mereka menggabungkan kemampuan matematika Maple dengan format baris dan kolom yang sudah dikenal pada spreadsheet tradisional. Spreadsheet Maple dapat digunakan untuk membuat tabel rumus.

Untuk memudahkan mendokumentasikan dan mengatur hasil penghitungan, terdapat opsi untuk memecah menjadi paragraf, bagian, dan menambahkan hyperlink. Hyperlink adalah bantuan navigasi. Dengan satu klik Anda bisa pergi ke titik lain dalam lembar kerja, ke lembar kerja lain, ke halaman bantuan, ke lembar kerja di server Web, atau ke halaman Web lainnya.

Lembar kerja dapat disusun secara hierarki menjadi beberapa bagian dan subbagian. Bagian dan subbagian dapat diperluas atau diciutkan. Maple, seperti editor teks lainnya, mendukung opsi bookmark.

Menghitung di Maple

Sistem Maple dapat digunakan pada tingkat paling dasar dari kemampuannya - sebagai kalkulator yang sangat kuat untuk perhitungan menggunakan rumus yang diberikan, tetapi keunggulan utamanya adalah kemampuan untuk melakukan operasi aritmatika dalam bentuk simbol, yaitu cara seseorang melakukannya. . Saat bekerja dengan pecahan dan akar, program tidak mengonversinya ke bentuk desimal selama penghitungan, tetapi melakukan pengurangan dan transformasi yang diperlukan ke dalam kolom, sehingga menghindari kesalahan pembulatan. Untuk bekerja dengan persamaan desimal, sistem Maple memiliki perintah khusus yang memperkirakan nilai ekspresi dalam format floating point. Sistem Maple menghitung jumlah dan hasil kali berhingga dan tak terhingga, melakukan operasi komputasi dengan bilangan kompleks, dengan mudah mereduksi bilangan kompleks menjadi bilangan dalam koordinat kutub, menghitung nilai numerik fungsi dasar, dan juga mengetahui banyak fungsi khusus dan konstanta matematika ( seperti "e" " dan "pi"). Maple mendukung ratusan fungsi dan angka khusus yang ditemukan di banyak bidang matematika, sains, dan teknik. Berikut ini beberapa di antaranya:

fungsi kesalahan;
Konstanta Euler;
integral eksponensial;
fungsi integral elips;
fungsi gamma;
fungsi zeta;
Fungsi langkah berat;
Fungsi Dirac Delta;
Bessel dan fungsi Bessel yang dimodifikasi.

Sistem Maple menawarkan berbagai cara untuk merepresentasikan, mereduksi, dan mengubah ekspresi, seperti operasi seperti menyederhanakan dan memfaktorkan ekspresi aljabar dan mereduksinya ke bentuk yang berbeda. Dengan demikian, Maple dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan dan sistem.

Maple juga memiliki banyak alat canggih untuk mengevaluasi ekspresi dengan satu atau lebih variabel. Program ini dapat digunakan untuk menyelesaikan permasalahan kalkulus diferensial dan integral, kalkulus limit, pemuaian deret, penjumlahan deret, perkalian, transformasi integral (seperti transformasi Laplace, transformasi Z, transformasi Mellin atau Fourier), serta untuk mempelajari fungsi kontinu kontinu atau sedikit demi sedikit.

Maple dapat menghitung limit suatu fungsi, baik yang berhingga maupun yang cenderung tak terhingga, dan juga mengenali ketidakpastian dalam limit tersebut. Sistem ini dapat menyelesaikan berbagai persamaan diferensial biasa (ODE) serta persamaan diferensial parsial (PDE), termasuk permasalahan kondisi awal (IVP) dan permasalahan kondisi batas (BVP).

Salah satu paket perangkat lunak yang paling umum digunakan di Maple adalah paket aljabar linier, yang berisi serangkaian perintah yang kuat untuk bekerja dengan vektor dan matriks. Maple dapat menemukan nilai eigen dan vektor eigen operator, menghitung koordinat lengkung, menemukan norma matriks, dan menghitung berbagai jenis dekomposisi matriks.

Untuk aplikasi teknis Maple menyertakan buku referensi konstanta fisika dan satuan besaran fisika dengan konversi rumus otomatis. Maple sangat efektif untuk mengajar matematika. Kecerdasan tertinggi dari sistem matematika simbolik ini dikombinasikan dengan sarana pemodelan numerik matematika yang sangat baik dan kemungkinan yang menakjubkan untuk visualisasi grafis dari solusi. Sistem seperti Maple dapat digunakan baik dalam pengajaran maupun untuk pendidikan mandiri ketika mempelajari matematika dari awal hingga akhir.

Grafik di Maple

Sistem Maple mendukung grafik 2D dan 3D. Dengan demikian, Anda dapat merepresentasikan fungsi eksplisit, implisit, dan parametrik, serta fungsi multidimensi dan kumpulan data sederhana dalam bentuk grafik dan mencari pola secara visual.

Alat grafis Maple memungkinkan Anda membuat grafik dua dimensi dari beberapa fungsi sekaligus, membuat grafik transformasi konformal fungsi dengan bilangan kompleks, dan membuat grafik fungsi dalam bentuk logaritma, logaritma ganda, parametrik, fase, polar, dan kontur. Anda dapat merepresentasikan pertidaksamaan, fungsi implisit, solusi persamaan diferensial, dan hodograf akar secara grafis.

Maple dapat menghasilkan permukaan dan kurva dalam 3D, termasuk permukaan yang ditentukan oleh fungsi eksplisit dan parametrik, serta solusi persamaan diferensial. Pada saat yang sama, dapat disajikan tidak hanya dalam bentuk statis, tetapi juga dalam bentuk animasi dua atau tiga dimensi. Fitur sistem ini dapat digunakan untuk menampilkan proses yang terjadi secara real time.

Perhatikan bahwa untuk mempersiapkan hasil dan mendokumentasikan penelitian, sistem memiliki semua kemungkinan untuk memilih font untuk nama, prasasti, dan informasi teks lainnya pada grafik. Dalam hal ini, Anda tidak hanya dapat memvariasikan font, tetapi juga kecerahan, warna, dan skala grafik.

Aplikasi Khusus

Seperangkat lengkap Maple PowerTools dan paket yang kuat untuk berbagai bidang seperti analisis elemen hingga (FEM), optimasi nonlinier, dan banyak lagi, sepenuhnya memuaskan pengguna dengan latar belakang matematika universitas. Maple juga mencakup paket rutinitas untuk menyelesaikan masalah aljabar linier dan tensor, geometri Euclidean dan analitik, teori bilangan, teori probabilitas dan statistik matematika, kombinatorik, teori grup, transformasi integral, pendekatan numerik dan optimasi linier (metode simpleks), serta masalah matematika keuangan dan masih banyak lagi yang lainnya.

Paket perangkat lunak Keuangan dirancang untuk perhitungan keuangan. Dengan bantuannya, Anda dapat menghitung jumlah anuitas saat ini dan akumulasi, total anuitas, jumlah anuitas seumur hidup, total anuitas seumur hidup, dan pendapatan bunga obligasi. Anda dapat membuat tabel amortisasi, menentukan jumlah suku bunga aktual untuk bunga majemuk, dan menghitung jumlah tetap saat ini dan masa depan untuk suku bunga dan bunga majemuk tertentu.

Pemrograman

Sistem Maple menggunakan bahasa prosedural generasi ke-4 (4GL). Bahasa ini dirancang khusus untuk perkembangan pesat rutinitas matematika dan aplikasi khusus. Sintaks bahasa ini mirip dengan sintaksis bahasa tingkat tinggi universal: C, Fortran, Basic dan Pascal.

Maple dapat menghasilkan kode yang kompatibel dengan bahasa pemrograman seperti Fortran atau C, dan dengan bahasa pengetikan LaTeX yang sangat populer di dunia ilmiah dan digunakan untuk penerbitan. Salah satu kelebihan properti ini adalah kemampuannya untuk menyediakan akses ke program numerik khusus yang mempercepat solusi sebanyak mungkin. tugas yang kompleks. Misalnya, dengan menggunakan sistem Maple, Anda dapat mengembangkan model matematika tertentu, dan kemudian menggunakannya untuk menghasilkan kode C yang cocok dengan model tersebut. Bahasa 4GL, yang dioptimalkan secara khusus untuk pengembangan aplikasi matematika, memungkinkan Anda mempersingkat proses pengembangan, dan elemen Maplet atau dokumen Maple dengan komponen grafis bawaan membantu Anda menyesuaikan antarmuka pengguna.

Pada saat yang sama, di lingkungan Maple Anda dapat menyiapkan dokumentasi untuk aplikasi, karena alat paket memungkinkan Anda membuat dokumen teknis yang tampak profesional yang berisi teks, perhitungan matematis interaktif, grafik, gambar, dan bahkan suara. Anda juga dapat membuat dokumen dan presentasi interaktif dengan menambahkan tombol, penggeser, dan komponen lainnya, dan terakhir mempublikasikan dokumen di Internet dan menerapkan komputasi interaktif di Web menggunakan server MapleNet.

Kompatibilitas internet

Maple adalah paket matematika universal pertama yang menawarkan dukungan penuh untuk standar MathML 2.0, yang mengatur keduanya penampilan, dan arti matematika di Internet. Fitur eksklusif ini menjadikan versi MathML saat ini sebagai alat utama untuk matematika Internet dan juga menetapkan tingkat kompatibilitas multi-pengguna yang baru. TCP/IP menyediakan akses dinamis ke informasi dari sumber daya Internet lainnya, seperti analisis keuangan real-time atau data cuaca.

Prospek pengembangan

Versi terbaru Maple, selain algoritme dan metode tambahan untuk memecahkan masalah matematika, telah menerima antarmuka grafis yang lebih nyaman, alat visualisasi dan pembuatan bagan yang canggih, serta alat pemrograman tambahan (termasuk kompatibilitas dengan bahasa pemrograman universal). Mulai dari versi kesembilan, impor dokumen dari program Mathematica telah ditambahkan ke paket, dan definisi matematika dan konsep rekayasa dan navigasi halaman bantuan yang diperluas. Selain itu, kualitas pencetakan rumus telah ditingkatkan, terutama saat memformat ekspresi yang besar dan kompleks, dan ukuran file MW untuk menyimpan dokumen kerja Maple telah berkurang secara signifikan.

Dengan demikian, Maple mungkin merupakan sistem yang paling seimbang dan pemimpin yang tak terbantahkan dalam kemampuan komputasi simbolik untuk matematika. Pada saat yang sama, mesin simbolik asli digabungkan di sini dengan bahasa pemrograman terstruktur yang mudah diingat, sehingga Maple dapat digunakan baik untuk tugas kecil maupun proyek besar.

Satu-satunya kelemahan sistem Maple termasuk sifatnya yang agak “bijaksana”, yang tidak selalu dapat dibenarkan, serta biaya program ini yang sangat tinggi (tergantung pada versi dan kumpulan perpustakaan, harganya mencapai beberapa puluh ribu dolar. , meskipun mahasiswa dan peneliti ditawari versi yang murah - seharga beberapa ratus dolar).

Paket Maple didistribusikan secara luas di universitas-universitas dengan kekuatan ilmiah terkemuka, pusat penelitian, dan perusahaan. Program ini terus berkembang, menggabungkan bidang matematika baru, memperoleh fungsi baru dan menyediakan lingkungan yang lebih baik pekerjaan penelitian. Salah satu arah utama pengembangan sistem ini adalah peningkatan kekuatan dan keandalan perhitungan analitis (simbolis). Arah ini paling banyak terwakili di Maple. Saat ini, Maple dapat melakukan perhitungan analitis kompleks yang seringkali berada di luar kemampuan ahli matematika berpengalaman sekalipun. Tentu saja, Maple tidak mampu menebak secara brilian, namun sistem melakukan perhitungan rutin dan massal dengan cemerlang. Bidang penting lainnya adalah meningkatkan efisiensi perhitungan numerik. Hasilnya, prospek penggunaan Maple dalam pemodelan numerik dan dalam melakukan perhitungan yang rumit, termasuk dengan presisi yang berubah-ubah, telah meningkat secara signifikan. Dan terakhir, integrasi erat Maple dengan perangkat lunak lain merupakan arah penting lainnya dalam pengembangan sistem ini. Kernel komputasi simbolik Maple sudah disertakan dalam sejumlah sistem matematika komputer - mulai dari sistem untuk berbagai pengguna seperti MathCad hingga salah satu sistem terbaik untuk perhitungan dan pemodelan numerik, MatLab.

Semua fitur ini, dikombinasikan dengan antarmuka pengguna yang dirancang dengan baik dan ramah pengguna serta sistem bantuan yang kuat, menjadikan Maple lingkungan perangkat lunak kelas satu untuk memecahkan berbagai macam masalah matematika, yang mampu membantu pengguna secara efektif menyelesaikan masalah pendidikan dan dunia nyata. masalah ilmiah dan teknis.

Paket alternatif

Alternatif yang lebih sederhana namun secara ideologis mirip dengan program Maple mencakup paket seperti Derive (http://www.chartwellyorke.com/derive.html), Scientific WorkPlace (http://www.mackichan.com/) dan YaCaS (www.xs4all .nl/~apinkus/yacas.html).

Seperti yang telah kami katakan, Scientific WorkPlace (SWP, versi saat ini 5.5) pada awalnya dikembangkan sebagai editor teks ilmiah, memungkinkan Anda mengetik dan mengedit rumus matematika dengan mudah. Namun seiring berjalannya waktu, MacKichan Software, Inc. (pengembang Scientific WorkPlace) telah melisensikan mesin simbol Maple dari Waterloo Maple, Inc., dan program tersebut sekarang menggabungkan pengolah kata matematika yang mudah digunakan dan sistem aljabar komputer dalam satu lingkungan. Dengan aljabar komputer bawaan, Anda dapat melakukan penghitungan langsung di dokumen. Tentu saja program ini tidak memiliki kemampuan yang sama dengan Maple, namun kecil dan mudah digunakan.

Sedangkan untuk YaCaS (singkatan dari Yet Another Computer Algebra System), ini adalah alternatif lintas platform gratis untuk Maple, dibangun dengan prinsip yang sama. Mesin YaCaS yang bertenaga dan sangat efisien diimplementasikan sepenuhnya dalam C++ di bawah lisensi terbuka (OpenSource). Antarmukanya, tentu saja, lebih buruk dan sederhana dibandingkan pesaingnya yang terhormat, tetapi cukup nyaman.

Tetapi sistem matematika komersial kecil Derive (versi saat ini 6.1) telah ada sejak lama, tetapi, tentu saja, tidak dapat dianggap sebagai alternatif penuh untuk Maple, meskipun masih menarik hingga hari ini karena sifatnya yang ringan. Sumber daya perangkat keras PC. Selain itu, ketika memecahkan masalah dengan kompleksitas sedang, ini menunjukkan kinerja yang lebih tinggi dan keandalan solusi yang lebih besar daripada versi pertama sistem Maple dan Mathematica. Namun, sulit bagi sistem Derive untuk bersaing secara serius dengan sistem ini - baik dalam hal banyaknya fungsi dan aturan transformasi analitis, serta dalam hal kemampuan grafis komputer dan kenyamanan antarmuka pengguna. Untuk saat ini, Derive lebih merupakan sistem pelatihan aljabar komputer tingkat pemula.

Dan meskipun versi terbaru Derive 6 untuk Windows sudah memiliki antarmuka yang modern dan ramah pengguna, dalam banyak hal versi ini lebih rendah dibandingkan antarmuka canggih para pesaingnya. Dan dalam hal kemampuan memvisualisasikan hasil perhitungan secara grafis, Derive secara umum tertinggal jauh dari para pesaingnya.

MatLab (http://www.mathworks.com/)

Persyaratan sistem minimum:

prosesor Pentium III, 4, Xeon, Pentium M; AMD Athlon, Athlon XP, AthlonMP;
RAM 256 MB (disarankan 512 MB);
Ruang disk 400 MB (hanya untuk sistem MatLab itu sendiri dan Bantuannya);
sistem operasi Microsoft Windows 2000 (SP3)/XP.

Sistem MatLab adalah produk tingkat menengah yang dirancang untuk matematika simbolik, tetapi dirancang untuk digunakan secara luas di bidang CAE (yang juga kuat di bidang lain). MatLab adalah salah satu sistem tertua, dikembangkan dengan cermat, dan telah teruji waktu untuk mengotomatisasi perhitungan matematis, dibangun di atas representasi dan penerapan operasi matriks tingkat lanjut. Hal ini tercermin dari nama sistemnya - LABoratorium MATrix, yaitu laboratorium matriks. Namun, sintaks bahasa pemrograman sistem dipikirkan dengan sangat hati-hati sehingga orientasi ini hampir tidak dirasakan oleh pengguna yang tidak tertarik secara langsung dengan perhitungan matriks.

Terlepas dari kenyataan bahwa MatLab pada awalnya ditujukan khusus untuk komputasi, dalam proses evolusi (dan sekarang versi 7 telah dirilis), selain alat komputasi yang sangat baik, inti transformasi simbolik dibeli dari Waterloo Maple di bawah lisensi MatLab, dan muncul perpustakaan yang menyediakan fungsi unik untuk paket matematika di MatLab. Misalnya, perpustakaan Simulink yang terkenal, yang menerapkan prinsip pemrograman visual, memungkinkan Anda membuat diagram logis dari sistem kontrol yang kompleks hanya dari blok standar, tanpa menulis satu baris kode pun. Setelah membuat sirkuit seperti itu, Anda dapat menganalisis operasinya secara detail.

Sistem MatLab juga memiliki kemampuan pemrograman yang luas. Pustaka C Math (kompiler MatLab) berbasis objek dan berisi lebih dari 300 prosedur pemrosesan data dalam bahasa C. Di dalam paket, Anda dapat menggunakan prosedur MatLab dan prosedur bahasa C standar, yang menjadikan alat ini alat yang ampuh untuk mengembangkan aplikasi (menggunakan kompiler C Math, Anda dapat menyematkan prosedur MatLab apa pun ke dalam aplikasi yang sudah jadi).

Pustaka C Math memungkinkan Anda menggunakan kategori fungsi berikut:

operasi dengan matriks;
perbandingan matriks;
menyelesaikan persamaan linear;
perluasan operator dan pencarian nilai eigen;
menemukan matriks invers;
mencari determinan;
perhitungan matriks eksponensial;
matematika dasar;
fungsi fungsi beta, gamma, erf dan elips;
dasar-dasar statistik dan analisis data;
mencari akar polinomial;
penyaringan, konvolusi;
transformasi Fourier cepat (FFT);
interpolasi;
operasi dengan string;
operasi I/O file, dll.

Selain itu, semua perpustakaan MatLab dibedakan oleh kecepatan perhitungan numerik yang tinggi. Namun, matriks banyak digunakan tidak hanya dalam perhitungan matematis seperti penyelesaian masalah aljabar linier dan pemodelan matematika, perhitungan sistem dan objek statis dan dinamis. Mereka adalah dasar untuk kompilasi otomatis dan penyelesaian persamaan keadaan objek dan sistem dinamis. Universalitas peralatan kalkulus matrikslah yang secara signifikan meningkatkan minat terhadap sistem MatLab, yang telah menggabungkan pencapaian terbaik di bidang penyelesaian masalah matriks dengan cepat. Oleh karena itu, MatLab telah lama melampaui cakupan sistem matriks khusus, menjadi salah satu sistem matematika komputer terintegrasi universal yang paling kuat.

Untuk memvisualisasikan simulasi, sistem MatLab memiliki perpustakaan Image Processing Toolbox, yang menyediakan berbagai fungsi yang mendukung visualisasi perhitungan yang dilakukan langsung dari lingkungan MatLab, pembesaran dan analisis, serta kemampuan untuk membangun algoritma pemrosesan gambar. Teknik perpustakaan grafis tingkat lanjut yang dipadukan dengan bahasa pemrograman MatLab menyediakan sistem terbuka dan dapat diperluas yang dapat digunakan untuk membuat aplikasi khusus yang sesuai untuk pemrosesan grafis.

Alat utama perpustakaan Tollbox Pemrosesan Gambar:

membangun filter, memfilter dan memulihkan gambar;
pembesaran gambar;
analisis dan pemrosesan statistik gambar;
identifikasi bidang minat, operasi geometri dan morfologi;
manipulasi warna;
transformasi dua dimensi;
unit pengolahan;
alat visualisasi;
menulis/membaca file grafik.

Dengan demikian, sistem MatLab dapat digunakan untuk pemrosesan gambar dengan membangun algoritmanya sendiri yang akan bekerja dengan array grafik sebagai matriks data. Karena MatLab dioptimalkan untuk bekerja dengan matriks, hasilnya adalah kemudahan penggunaan, kecepatan tinggi, dan efektivitas biaya dalam melakukan operasi gambar.

Dengan demikian, program MatLab dapat digunakan untuk memulihkan gambar yang rusak, pengenalan pola objek dalam gambar, atau untuk mengembangkan algoritma pemrosesan gambar asli Anda sendiri. Pustaka Tollbox Pemrosesan Gambar menyederhanakan pengembangan algoritme presisi tinggi karena setiap fungsi yang disertakan dalam pustaka dioptimalkan untuk kecepatan, efisiensi, dan keakuratan penghitungan maksimum. Selain itu, perpustakaan menyediakan berbagai alat kepada pengembang untuk membuat solusi mereka sendiri dan untuk mengimplementasikan aplikasi pemrosesan grafis yang kompleks. Dan saat menganalisis gambar, menggunakan akses instan sarana yang ampuh visualisasi membantu Anda langsung melihat efek pembesaran, restorasi, dan pemfilteran.

Di antara perpustakaan lain dari sistem MatLab, kita juga dapat mencatat Kotak Alat Identifikasi Sistem - seperangkat alat untuk membuat model matematika sistem dinamis berdasarkan data masukan/keluaran yang diamati. Fitur khusus dari toolkit ini adalah hadirnya antarmuka pengguna yang fleksibel yang memungkinkan Anda mengatur data dan model. Pustaka Kotak Alat Identifikasi Sistem mendukung metode parametrik dan non-parametrik. Antarmuka sistem memfasilitasi pra-pemrosesan data, bekerja dengan proses berulang dalam pembuatan model untuk memperoleh perkiraan dan menyorot data yang paling signifikan. Lakukan operasi dengan cepat seperti membuka/menyimpan data dan memilih area dengan sedikit usaha nilai yang mungkin data, menghilangkan kesalahan, mencegah data meninggalkan tingkat karakteristiknya.

Kumpulan data dan model yang teridentifikasi disusun secara grafis, sehingga memudahkan untuk mengingat hasil analisis sebelumnya selama proses identifikasi sistem dan memilih langkah selanjutnya yang mungkin dilakukan dalam proses tersebut. Antarmuka pengguna utama mengatur data untuk menunjukkan hasil yang telah diperoleh. Hal ini memfasilitasi perbandingan cepat estimasi model, memungkinkan Anda menyorot model yang paling signifikan secara grafis dan memeriksa kinerjanya.

Dan dalam hal penghitungan matematis, MatLab menyediakan akses ke sejumlah besar rutinitas yang terdapat di NAG Foundation Library of Numerical Algorithms Group Ltd (perangkat ini memiliki ratusan fungsi dari berbagai bidang matematika, dan banyak dari program ini dikembangkan dengan baik. -spesialis terkenal di dunia). Ini adalah kumpulan unik implementasi metode numerik modern matematika komputer, yang dibuat selama tiga dekade terakhir. Dengan demikian, MatLab telah menyerap pengalaman, aturan, dan metode perhitungan matematis yang terakumulasi selama ribuan tahun perkembangan matematika. Dokumentasi ekstensif yang disertakan dengan sistem saja dapat dianggap sebagai buku referensi elektronik multi-volume yang mendasar tentang perangkat lunak matematika.

Di antara kekurangan sistem MatLab, kita dapat mencatat rendahnya integrasi lingkungan (ada banyak jendela yang lebih baik untuk digunakan pada dua monitor), sistem bantuan yang tidak terlalu jelas (namun volume dokumentasi kepemilikan mencapai hampir 5 ribu halaman, sehingga sulit untuk ditinjau) dan editor kode khusus untuk program MatLab. Saat ini, sistem MatLab banyak digunakan dalam teknologi, sains, dan pendidikan, namun masih lebih cocok untuk analisis data dan pengorganisasian penghitungan daripada penghitungan matematis murni.

Oleh karena itu, untuk melakukan transformasi analitik di MatLab, kernel transformasi simbolis Maple digunakan, dan dari Maple Anda dapat mengakses MatLab untuk perhitungan numerik. Bukan tanpa alasan matematika simbolik Maple telah menjadi bagian integral dari sejumlah paket modern, dan analisis numerik dari MatLab dan kotak peralatan adalah unik. Meskipun demikian, paket matematika Maple dan MatLab merupakan pemimpin intelektual di kelasnya, mereka adalah model yang menentukan perkembangan matematika komputer.

Alternatif yang lebih sederhana namun secara ideologis mirip dengan program MatLab mencakup paket seperti Octave (www.octave.org), KOctave (bubben.homelinux.net/~matti/koctave/) dan Genius (www.jirka.org/genius .html).

Oktaf adalah program perhitungan numerik yang sangat kompatibel dengan MatLab. Antarmuka sistem Oktaf, tentu saja, lebih buruk, dan tidak memiliki perpustakaan unik seperti MatLab, tetapi ini adalah program yang sangat mudah dipelajari dan tidak memerlukan sumber daya sistem. Oktaf didistribusikan di bawah lisensi sumber terbuka (OpenSource) dan dapat sangat membantu lembaga pendidikan.

Program KOctave pada dasarnya adalah antarmuka grafis yang lebih canggih untuk sistem Oktaf. Sebagai hasil dari penggunaan KOctave, sistem Oktaf menjadi sangat mirip dengan MatLab.

Program matematika sederhana Genius, tentu saja, tidak dapat bersaing dalam kekuasaan dengan pesaingnya yang terkenal, tetapi ideologi transformasi matematikanya mirip dengan MatLab dan Maple. Genius juga didistribusikan di bawah lisensi sumber terbuka (OpenSource). Ia memiliki bahasa GEL sendiri, Alat Matematika Genius yang dikembangkan dan sistem yang baik untuk menyiapkan dokumen untuk dipublikasikan (menggunakan bahasa desain seperti LaTeX, Troff (eqn) dan MathML). Antarmuka grafis yang sangat bagus dari program Genius akan membuat bekerja dengannya menjadi sederhana dan nyaman.

MatematikaCad (http://www.mathsoft.com/, http://www.mathcad.com/)

Persyaratan sistem minimum:

Prosesor Pentium II atau lebih tinggi;
RAM 128 MB (disarankan 256 MB atau lebih);
ruang disk 200-400 MB;
sistem operasi: Windows 98/Me/NT 4.0/2000/XP.

Berbeda dengan paket MatLab yang kuat, yang berfokus pada perhitungan yang sangat efisien dalam analisis data, program MathCad (versi saat ini 13) adalah editor teks matematika yang sederhana namun canggih dengan kemampuan perhitungan simbolik yang luas dan antarmuka yang sangat baik. MathCad tidak memiliki bahasa pemrograman seperti itu, dan mesin kalkulasi simbolik dipinjam dari paket Maple. Namun antarmuka program MathCad sangat sederhana, dan kemampuan visualisasinya kaya. Semua perhitungan di sini dilakukan pada tingkat pencatatan visual ekspresi dalam bentuk matematika yang umum digunakan. Paket ini berisi tip bagus, dokumentasi terperinci, fungsi pelatihan, sejumlah modul tambahan, dan dukungan teknis yang layak dari pabrikan (seperti yang Anda lihat dari versi produk, program ini lebih sering diperbarui daripada program lain yang disebutkan dalam ulasan ini, meskipun tahun rilis versi pertama kurang lebih sama - 1996-1997). Namun sejauh ini kemampuan matematika MathCad di bidang aljabar komputer jauh kalah dengan sistem Maple, Mathematica, MatLab dan bahkan Derive kecil. Namun, banyak buku dan kursus pelatihan telah diterbitkan menggunakan program MathCad, termasuk di Rusia. Saat ini, sistem ini telah menjadi standar internasional untuk komputasi teknis, dan bahkan banyak anak sekolah yang belajar dan menggunakan MathCad.

Untuk sejumlah kecil perhitungan, MathCad sangat ideal - di sini semuanya dapat dilakukan dengan sangat cepat dan efisien, dan kemudian pekerjaan dapat diformat dalam bentuk biasa (MathCad memberikan banyak peluang untuk memformat hasilnya, bahkan mempublikasikannya di Internet). Paket ini memiliki kemampuan impor/ekspor data yang nyaman. Misalnya, Anda dapat bekerja dengan spreadsheet Microsoft Excel langsung di dalam dokumen MathCad.

Secara umum, MathCad adalah program yang sangat sederhana dan nyaman yang dapat direkomendasikan untuk banyak pengguna, termasuk mereka yang tidak terlalu paham matematika, dan terutama mereka yang baru mempelajari dasar-dasarnya.

Sebagai alternatif yang lebih murah, sederhana, tetapi secara ideologis mirip dengan program MathCad, kita dapat mencatat paket-paket seperti YaCaS yang telah disebutkan, sistem komersial MuPAD (http://www.mupad.de/) dan program gratis KmPlot (http:/ /edu.kde .org/kmplot/).

Program KmPlot didistribusikan di bawah lisensi sumber terbuka (OpenSource). Sangat mudah dipelajari dan cocok bahkan untuk anak sekolah.

Sedangkan untuk program MuPAD, ini adalah sistem perhitungan matematis terintegrasi modern yang dengannya Anda dapat melakukan transformasi numerik dan simbolik, serta menggambar grafik objek geometris dua dimensi dan tiga dimensi. Namun, dalam hal kemampuannya, MuPAD secara signifikan lebih rendah dibandingkan pesaingnya dan lebih merupakan sistem entry-level yang dirancang untuk pelatihan.

Kesimpulan

Terlepas dari kenyataan bahwa di bidang matematika komputer tidak terdapat keragaman seperti, katakanlah, di bidang grafik komputer, di balik keterbatasan pasar program matematika, kemungkinannya yang benar-benar tak terbatas tersembunyi! Biasanya, sistem CAE mencakup hampir semua bidang perhitungan matematika dan teknik.

Dahulu kala, sistem matematika simbolik ditujukan secara eksklusif pada kalangan profesional yang sempit dan bekerja pada komputer besar (mainframe). Namun dengan munculnya PC, sistem ini didesain ulang untuk PC dan dibawa ke tingkat sistem perangkat lunak serial massal. Saat ini, sistem matematika simbolik dari berbagai kaliber hidup berdampingan di pasaran - dari sistem MathCad yang dirancang untuk berbagai konsumen hingga monster komputer Mathematica, MatLab dan Maple, yang memiliki ribuan fungsi bawaan dan perpustakaan, kemampuan luas untuk visualisasi grafis perhitungan dan alat yang dikembangkan untuk menyiapkan dokumentasi.

Perhatikan bahwa hampir semua sistem ini bekerja tidak hanya pada komputer pribadi yang dilengkapi dengan sistem operasi Windows populer, tetapi juga pada sistem operasi Linux, UNIX, Mac OS, dan juga pada PDA. Mereka telah lama dikenal oleh pengguna dan tersebar luas di semua platform - mulai dari perangkat genggam hingga superkomputer.

Pengembangan program untuk melakukan perhitungan matriks

Perkenalan

bahasa pemrograman matriks

Saat ini, pemrograman matematika merupakan komponen penting dari semua pemrograman. Perhitungan besar dan rumit menjadi sederhana berkat program sederhana.

Dalam hal ini pekerjaan kursus sebuah program untuk menghitung matriks telah dibuat.

MSVisualStudio 2008 dan bahasa pemrograman C++ dipilih sebagai lingkungan pemrograman.

.
Vektor

Matriks yang hanya terdiri dari satu kolom atau baris disebut vektor. Dimensi suatu vektor adalah jumlah elemen-elemennya.

1 Jumlah dua vektor

Maka jumlah vektor-vektor tersebut akan disebut vektor berikut:

1.2 Selisih dua vektor

Biarkan vektor direpresentasikan dalam ruang linier seperti ini:

Maka selisih vektor-vektor tersebut disebut vektor berikut:

1.3 Hasil kali vektor dan bilangan

Jika ada suatu bilangan x dan sebuah vektor .

Maka hasil kali vektor dan bilangan x disebut vektor berikut

1.4 Perkalian titik dua vektor

Produk skalar dari dua vektor dan , ditentukan oleh koordinatnya, dapat dihitung menggunakan rumus.

2.
Kelas

Kelas adalah tipe struktur yang memungkinkan Anda memasukkan ke dalam deskripsi tipe tidak hanya elemen data, tetapi juga fungsi (fungsi atau metode elemen).

Untuk membatasi akses ke elemen kelas, penentu akses berikut digunakan:

· publik - tidak ada batasan akses;

· dilindungi - hanya tersedia di kelas yang dihasilkan;

· swasta - hanya tersedia di kelasnya.

1 Konstruktor dan destruktor

Mari tambahkan fungsi Vector(int sz) ke kelas

Fungsi ini disebut konstruktor dan digunakan untuk menginisialisasi objek data yang dibuat. Nama konstruktor harus sesuai dengan nama kelas, konstruktor tidak boleh mengembalikan nilai dan berisi pernyataan return. Tipenya tidak dijelaskan secara eksplisit. Konstruktor bisa kelebihan beban, sehingga tipe data baru apa pun bisa memiliki banyak konstruktor.

~Vector() adalah operator khusus yang disebut destruktor. Hal ini diperlukan untuk menghentikan keberadaan objek kita dengan benar, yaitu untuk mengosongkan memori di heap.

Destruktor, seperti konstruktor, tidak boleh mengembalikan nilai dan harus memiliki deklarasi tipe eksplisit. Berbeda dengan konstruktor yang dapat berjumlah beberapa untuk kelas yang sama, destruktor harus berupa satu dan tidak boleh memiliki argumen (const Vector &A) disebut copy konstruktor. Ini digunakan saat membuat objek dan menginisialisasinya dengan objek bertipe sama.

Selain itu, konstruktor salinan digunakan saat menginisialisasi parameter formal suatu fungsi jika objek diteruskan ke sana berdasarkan nilai, dan saat mengembalikan objek dari suatu fungsi menggunakan pernyataan return. Saat meneruskan referensi dan pointer, konstruktor salinan tidak digunakan.

Konstruktor salinan implisit menyediakan salinan elemen demi elemen sederhana dari satu objek ke objek kedua. Jenis penyalinan ini sering disebut dangkal.

2 Operasi kelebihan beban

Sebagian besar operasi C++ dapat kelebihan beban untuk tipe data baru. Untuk membebani suatu operasi, Anda harus membuat fungsi dengan nama yang terdiri dari kata kunci operator dan tanda operasi yang kelebihan beban. Jumlah parameter fungsi ini ditentukan oleh apakah operasi tunggal atau ganda kelebihan beban, serta keberadaan elemen implisit dalam metode kelas.

Kelebihan beban operator melibatkan pengenalan dua fitur yang saling terkait: kemampuan untuk mendeklarasikan beberapa prosedur atau fungsi dengan nama yang sama dalam satu cakupan dan kemampuan untuk mendeskripsikan implementasi operasi Anda sendiri.

Misalnya, untuk membebani operator penjumlahan secara berlebihan, Anda perlu mendefinisikan fungsi yang disebut operator+.

Fungsi operator dari operator yang kelebihan beban, kecuali baru dan hapus, harus mematuhi aturan berikut:

fungsi operator harus berupa fungsi anggota non-statis suatu kelas, atau mengambil argumen bertipe kelas atau tipe enum, atau argumen yang merupakan referensi ke tipe kelas atau tipe enumerasi;

fungsi operator tidak dapat mengubah jumlah argumen atau prioritas operator dan urutan eksekusi dibandingkan dengan menggunakan operator terkait untuk tipe data bawaan;

Fungsi operator operator unary yang dideklarasikan sebagai fungsi anggota tidak boleh memiliki parameter; jika dideklarasikan sebagai fungsi global, ia harus memiliki satu parameter;

fungsi operator tidak boleh memiliki parameter default, dll.

3 fitur ramah

Menurut konsep enkapsulasi data C++, fungsi yang bukan anggota suatu kelas tidak dapat mengakses anggota privatnya. Bahasa C++ mengimplementasikan kemampuan untuk melewati batasan ini dengan bantuan teman. C++ memungkinkan Anda mendeklarasikan 2 tipe teman kelas: fungsi teman atau kelas teman. Fungsi teman bukan anggota kelas, namun masih memiliki akses ke anggota pribadinya. Selain itu, salah satu fungsi tersebut dapat memiliki akses ke anggota privat dari beberapa kelas. Untuk mendeklarasikan suatu fungsi agar bersahabat dengan suatu kelas, prototipenya disertakan dalam definisi kelas tersebut, didahului dengan kata kunci teman. ostream&operator<<(ostream& os, const Vector& A)

Fungsi teman bukan merupakan anggota kelas yang mendeklarasikannya. Oleh karena itu, saat memanggil fungsi teman, Anda tidak perlu menentukan nama objek atau penunjuk ke objek tersebut dan operasi akses ke anggota kelas (titik atau panah). Fungsi ramah mendapatkan akses ke anggota pribadi suatu kelas hanya melalui objek kelas tersebut, yang oleh karena itu harus dideklarasikan di dalam fungsi atau diteruskan ke sana sebagai argumen.

Suatu fungsi dapat bersahabat dengan beberapa kelas sekaligus.

4 Tersirat penunjuk ini

Setiap metode kelas berisi data penunjuk berikut, yang diteruskan saat memanggil metode sebagai parameter:

ketik_nama *ini;

Pointer ini mewakili alamat objek spesifik tempat metode dipanggil.

Dimungkinkan untuk menggunakan penunjuk ini untuk mengakses elemen kelas, tetapi ini hampir tidak disarankan, karena ini sudah menjadi default. Ini perlu digunakan secara eksplisit hanya jika Anda perlu bekerja secara langsung dengan alamat objek, misalnya, saat mengatur struktur data dinamis.

Kode program

#termasuk"stdafx.h"

#termasuk

#sertakan"conio.h"

#include"time.h"namespace std;

// KELAS VektorVektor

(:*V;sz; // jumlah baris:

// konstruktor default();

// konstruktor(int sz);

// salin konstruktor(const Vektor &A);

// mengisi vektor dengan angka acak SetVector();

// membebani operator penambahan secara berlebihan+(Vektor &);

// membebani operator pengurangan secara berlebihan-(Vektor &);

// membebani operator perkalian dengan operator bilangan*(const int&);

// membebani operator dengan mengalikan vektor dengan operator vektor*(Vektor &);

// membebani operator keluaran ke streamostream&operator<<(ostream& os, const Vector& A);

// destruktor

// Konstruktor bawaan::Vektor()

// Konstruktor::Vektor(int _sz)

(= _sz;= ganda baru ;(int i = 0; i< sz; i++)[i] = 0;

// Salin konstruktor::Vektor(const Vektor &A)

(= A.sz;= dobel baru ;(int i = 0; i< sz; i++)[i] = A.V[i];

// Mengisi vektor dengan angka acakVector::SetVector()

((int saya = 0; saya< sz; i++)

([i]=(ganda)((rand()%200)-100.0);

// Membebani operator penugasan& Vektor::operator =(Vektor &A)

)= dobel baru ;= A.sz;(int i = 0; i< sz; i++)[i] = A.V[i];*this;

// Penambahan vektorVector::operator+(Vector &A)

(suhu(sz);(sz!=A.sz)

{<<"Сложение векторов невозможно.\n"

((int saya = 0; saya< sz; i++).V[i] = V[i] + A.V[i];temp;

// Kurangi vektorVektor::operator-(Vektor &A)

(suhu(sz);(sz!=A.sz)

{<<"Сложение векторов невозможно.\n"

"Ukuran vektor tidak cocok!\n"

"Program telah dihentikan.\n";(0);

((int saya = 0; saya< sz; i++).V[i] = V[i] - A.V[i];temp;

// Mengalikan vektor dengan angkaVector::operator*(const int&k)

(temp(sz);(int i = 0; i< sz; i++).V[i] = V[i]*k;temp;

// Mengalikan vektor dengan vectorVector::operator*(Vector &A)

(temp(1);(int i = 0; i< sz; i++).V += V[i] * A.V[i];temp;

// Penghancur::~Vektor()

// Operasi & operator keluaran<<(ostream& os, const Vector& A)

{<< "\n";(int i = 0; i < A.sz; i++)

{<< A.V[i] << "\t";

)_tmain(ke dalam argc, _TCHAR* argv)

((LC_CTYPE, "Rusia_Rusia.1251");((unsigned)waktu(NULL));k, l, m, x;mati rasa;<< "Введите размеры векторов: " << endl;<< "\tПервый вектор: ";>>k;<< endl << "\tВторой вектор: ";>>aku;<< endl << "\tВведите число: " ;>> x;(k == aku)= k;

{<< "Размеры векторов не совпадают. Операции невозможны";

)v(k), s(l), res(m);.SetVector();.SetVector();<< endl << v << endl;<< s << endl;<< "\nВыберете операцию:";<< "\nСложение двух векторов №1";<< "\nРазность двух векторов №2";<< "\nУмножение двух векторов №3";<< "\nУмножение вектора на число №4";<< "\nВыход - введите 0\n";>> mati rasa;<< endl;(numb == 0)0;

Harvey Deitel, Paul Deitel. Cara memprogram di S. - Binom-Press, 2008. - 1024 hal.

Ada banyak program gratis dan komersial untuk perhitungan matematis. Mereka dapat dibagi menjadi dua kelompok besar:

1. Sistem aljabar komputer - program untuk perhitungan analitis simbolik;
2. Program untuk perhitungan numerik (numerik).

Sistem aljabar komputer

Sistem aljabar komputer digunakan untuk melakukan perhitungan analitis. Dengan bantuan mereka, Anda dapat melakukan operasi berikut:

menyelesaikan integral tak tentu (yaitu menemukan antiturunan suatu fungsi);
menghitung integral tertentu (termasuk integral tak wajar);
menemukan turunan, termasuk turunan dari fungsi kompleks (yaitu melakukan diferensiasi);
menyederhanakan ekspresi (misalnya, membuka tanda kurung dan menambahkan istilah serupa);
menyelesaikan persamaan aljabar dan diferensial;
menemukan limit fungsi dan barisan;
menghitung jumlah produk seri dan produk tak terbatas;
melakukan serangkaian perluasan fungsi;
membuat grafik fungsi.

Sistem aljabar komputer Maxima

Program Maxima memiliki berbagai alat untuk melakukan perhitungan analitis, perhitungan numerik, dan pembuatan plot. Dalam hal kemampuannya, sistem ini mirip dengan sistem komersial seperti Maple dan Mathematica. Pada saat yang sama, ia memiliki tingkat portabilitas tertinggi. Ini adalah satu-satunya sistem komputasi analitik yang dapat berjalan di semua sistem operasi modern utama. Ada versi program untuk sistem operasi utama: Microsoft Windows (98/ME/2000/XP/2003/Vista/2008), GNU/Linux (Fedora, Slackware, Gentoo, Debian), MacOS X, FreeBSD, NetBSD.

Ia memiliki beberapa antarmuka pengguna grafis dan add-on grafis: XMaxima (disertakan dalam banyak OS), dll. Dapat bekerja dalam mode baris perintah (menggunakan grafis semu).

Program Maxima dapat digunakan secara gratis dan tanpa batasan baik oleh anak sekolah maupun siswa, guru dan profesor, serta ahli matematika dan insinyur profesional.

Sistem aljabar komputer online Wolfram|Alpha

Untuk menghitung turunan suatu fungsi atau integral dengan cepat, menyelesaikan persamaan diferensial, atau sistem persamaan aljabar, Anda dapat menggunakan pemecah online Wolfram|Alpha.

Sistem aljabar komputer lainnya

Aksioma adalah program gratis (gratis). Terdiri dari lingkungan penerjemah, kompiler, dan perpustakaan yang mendeskripsikan hierarki tipe yang diketik dengan kuat dan benar secara matematis;
Maple adalah program berpemilik (komersial). Ini dimaksudkan untuk perhitungan simbolis, meskipun memiliki sejumlah alat untuk menyelesaikan persamaan diferensial secara numerik dan menemukan integral. Memiliki alat grafis yang dikembangkan. Memiliki bahasa pemrograman sendiri, mengingatkan pada Pascal;
Mathematica adalah program berpemilik (komersial). Berisi banyak fungsi untuk transformasi analitik dan perhitungan numerik. Selain itu, program ini mendukung pekerjaan dengan grafik dan suara, termasuk membuat grafik fungsi dua dan tiga dimensi, menggambar bentuk geometris sembarang, mengimpor dan mengekspor gambar dan suara.

Program untuk perhitungan numerik berfungsi untuk melaksanakan rekayasa numerik dan perhitungan ilmiah. Dengan bantuan mereka, Anda dapat melakukan operasi berikut:

melakukan operasi aljabar matriks secara numerik (penjumlahan/pengurangan, perkalian, penyelesaian sistem persamaan linear, pencarian nilai eigen dan vektor);
bekerja dengan matriks renggang (perakitan, faktorisasi);
mengembangkan algoritma dan program untuk mengimplementasikan metode numerik;
melakukan visualisasi data: dua dimensi sederhana dan tiga dimensi kompleks (termasuk visualisasi volumetrik.

Paket populer untuk perhitungan numerik.

Paket gratis (gratis).:

Scilab adalah paket program matematika terapan yang menyediakan lingkungan terbuka yang kuat untuk perhitungan teknik (teknis) dan ilmiah;
GNU OctaveGNU Octave adalah lingkungan komputasi numerik gratis yang menggunakan bahasa tingkat tinggi yang kompatibel dengan MATLAB. Oktaf menyediakan antarmuka perintah interaktif untuk memecahkan masalah matematika linier dan nonlinier, serta melakukan eksperimen numerik lainnya. Selain itu, Oktaf dapat digunakan untuk pemrosesan batch. Bahasa Oktaf beroperasi dengan aritmatika skalar dan matriks nyata dan kompleks, memiliki ekstensi untuk menyelesaikan masalah aljabar linier, menemukan akar sistem persamaan aljabar nonlinier, bekerja dengan polinomial, menyelesaikan berbagai persamaan diferensial, mengintegrasikan sistem diferensial dan aljabar diferensial persamaan orde pertama, mengintegrasikan fungsi pada interval berhingga dan tak terhingga. Daftar ini dapat dengan mudah diperluas menggunakan bahasa Oktaf (atau menggunakan modul yang dimuat secara dinamis yang dibuat dalam C, C++, Fortran, dll.).

Paket berpemilik (komersial).:

MATLAB adalah paket program aplikasi untuk memecahkan masalah komputasi teknis. MATLAB digunakan oleh lebih dari 1.000.000 insinyur dan ilmuwan dan berjalan pada sebagian besar sistem operasi modern, termasuk GNU/Linux, Mac OS, Solaris, dan Microsoft Windows.;
Mathcad - program untuk melakukan dan mendokumentasikan perhitungan teknik dan ilmiah;
Origin adalah paket perangkat lunak perusahaan untuk analisis data numerik dan grafik ilmiah, yang dijalankan pada komputer yang menjalankan sistem operasi Microsoft Windows.

Dengan bantuan program, saya juga bisa melakukannya!

BARU. PengaturanOSA_Beta1.1 Kalkulator OSA. Metode numerik.
Program ini dirancang untuk melakukan berbagai perhitungan matematis menggunakan metode numerik.
Program ini mengimplementasikan fitur-fitur berikut: operasi matriks (penjumlahan, pengurangan, perkalian matriks; perkalian matriks dengan angka; transposisi);
menyelesaikan sistem persamaan aljabar linier (SLAE) menggunakan metode Cramer, Gauss, Gauss-Seidel;
menyelesaikan persamaan nonlinier (metode membagi suatu ruas menjadi dua, tali busur dan garis singgung);

interpolasi fungsi lokal: linier dan kuadrat;

17 . interpolasi global: polinomial Newton dan Lagrange; integrasi numerik: metode persegi panjang rata-rata, trapesium, Simpson;
diferensiasi numerik menggunakan rumus selisih simetris untuk perkiraan perhitungan turunannya.
Ukuran arsip!.6 MB. (file exe+deskripsi). Bebas.
Penulis yang mengirimkan program tersebut meminta pihak-pihak yang akan menggunakan program tersebut untuk memberikan tanggapan dan komentar mengenai hal tersebut. Alamat untuk pesan dalam program.
Unduh
GShaper 0.9.2.
Kalkulator keliling, luas, volume, dan karakteristik lainnya (permukaan lateral, tinggi, eksentrisitas) berbagai bentuk geometris pada bidang dan ruang. Gambar-gambar tersebut dilengkapi dengan ilustrasi penjelasan dan dibagi ke dalam kategori - silinder, prismatik, kerucut, bola, polihedral...
Sistem: Windows XP, Saya, 9x, 2003, 2000, NT, 3.1/3.11

Lisensi: Perangkat Gratis

16 . Bahasa antarmuka: Rusia Sederhana dan mudah digunakan, namun pada saat yang sama kalkulator ekspresi yang cukup kuat atau, kadang-kadang disebut, kalkulator rumus. Tidak seperti kalkulator konvensional, SimpleCalc memungkinkan Anda melihat ekspresi terhitung dan hasilnya secara bersamaan. Ini sangat memudahkan, karena Anda dapat langsung melihat data apa saja yang telah dimasukkan dan apakah ada kesalahan di dalamnya. Dan dengan perubahan apa pun dalam ekspresi, itu dihitung ulang tanpa perlu memasukkan semuanya lagi.
Fitur utama:
- semua operasi aritmatika dengan angka dan eksponensial;
- mendukung operasi dengan tanda kurung;
- 21 fungsi bawaan;
- Anda dapat menentukan fungsi dan konstanta khusus Anda sendiri;
- Mendukung sistem bilangan heksadesimal, desimal, oktal dan biner;
- mengingat ekspresi yang dimasukkan;
- bekerja dengan papan klip;
- memungkinkan Anda menyesuaikan ukuran font;
- panggilan cepat kalkulator menggunakan tombol pintas;
- tahu cara menggulung ke dalam nampan (di mana jamnya berada).
Baru di versi 0.51:
Menambahkan format keluaran hasil rekayasa baru dengan kemampuan untuk memilih eksponen yang habis dibagi 3 Menambahkan kemampuan untuk mengonfirmasi penutupan program
Sistem: Windows XP, Saya, 9x, 2003, 2000, NT. Lisensi: Adware. Bahasa antarmuka: Rusia. Ukuran file: 0,418 MB. Pengembang: Vyacheslav Plisko. Situs web program: http://plsoft.narod.ru Instalasi: berfungsi tanpa instalasi. Ukuran 420 KB.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Unduh.

15 . Kalkum Pro 0.1 Kalkulator multifungsi yang dapat bekerja dengan angka besar dan memiliki dukungan untuk skin (desain program berbeda)
Komponen tersedia:
pembuat grafik, perhitungan gabungan (perhitungan dengan rumus), pemrosesan multi-angka (dengan beberapa kemampuan),
menyelesaikan persamaan,
perhitungan pecahan, perhitungan nilai geometri dan fisika,
editor tabel, kalkulator tarif (misalnya, untuk menghitung berapa banyak uang yang dihabiskan di Internet),
generator angka (dengan beberapa kemampuan), kalkulator trigonometri,
pembangun fraktal (objek pada bidang kompleks),
Dan juga program ini dapat meminimalkan ke system tray (tempat jam berada), juga saat menghitung – saat menghitung angka yang sangat besar, dan menghitung tanpa mengganggu Anda.
Program ini memiliki toolbar untuk mengakses fungsi yang paling dibutuhkan.
Sesuaikan panel tombol.
Dalam apa yang disebut komponen program - daftar angka - hafalan untuk waktu yang lama (dalam file).
Dapat bekerja dengan bilangan biasa dan ekstrim (desimal dan biner)
- meskipun perhitungannya agak lambat dalam kasus ini.
Paket ini mencakup beberapa skin.
Program ini memiliki bahasa pemrogramannya sendiri.
Didistribusikan dengan perpustakaan paling penting yang pasti tidak Anda miliki.
Program ini memiliki hampir 100 fungsi:
Trigonometri, Hiperbolik, Statistik dan lain-lain.
Ukuran 2,72 MB.

Lisensi: Perangkat Gratis

14 . matematika4siswa . Matematika untuk siswa. 1,6 MB.