Kutipan: Saya lebih bebas dan menjaga jarak dibandingkan siapa pun di dunia.
Prestasi dan kontribusi:
Profesional, posisi sosial: Pierre de Fermat berprofesi sebagai ahli matematika dan pengacara Prancis yang hebat. Dia bekerja sebagai pengacara di Parlemen Toulouse di Perancis dan belajar matematika sebagai seorang amatir.
Kontribusi utama (dikenal dengan): Fermat memberikan kontribusi yang signifikan terhadap geometri analitik, analisis matematika, teori probabilitas, optik dan, khususnya, teori bilangan.
Deposito:
Geometri analitik. Sezaman dengan Rene Descartes, ia secara mandiri mempelajari geometri 3 dimensi, tetapi tidak menerbitkan karyanya dan bidang ini diberi nama geometri Cartesian.
Teori bilangan. Penelitian briliannya mengangkatnya ke peringkat pendiri teori bilangan modern. Dia mendefinisikan Teorema Terakhir Fermat (1637) serta Teorema Kecil Fermat (1640) dan mengembangkan "metode keturunan tak terbatas" induktif, yang merupakan bukti umum pertama dari pertanyaan Diophantine. Dia membuat beberapa penemuan mengenai sifat-sifat bilangan, yang kemudian menjadi dasar metode penghitungan probabilitasnya.
Analisis matematis. Dia menciptakan metode orisinal untuk menentukan maksimum, minimum, dan garis singgung berbagai kurva, yang setara dengan kalkulus diferensial. Ia memperoleh metode untuk menemukan pusat gravitasi berbagai bidang dan figur spasial, yang membawanya untuk bekerja lebih lanjut di bidang kuadratur. Rumus yang dihasilkan kemudian digunakan oleh Newton dan Leibniz ketika mereka secara mandiri mengembangkan teorema dasar kalkulus.
Teori probabilitas. Pada tahun 1654, Blaise Pascal menulis surat kepada Fermat menanyakan pandangannya tentang masalah probabilitas. Serangkaian surat dari korespondensi mereka menjadi dasar teori probabilitas. Pada tahun 1660 ia berencana bertemu dengan Pascal, namun pertemuan tersebut tidak terlaksana karena kedua ilmuwan tersebut sakit.
Optik. Ia mengajukan prinsip waktu terkecil, yang menyatakan bahwa cahaya akan melewati sistem optik sedemikian rupa sehingga merambat dari titik awal hingga titik akhir dalam waktu yang paling singkat. Prinsip waktu terkecil Fermat adalah prinsip variasi pertama yang dirumuskan dalam fisika.
Dengan demikian, Fermat adalah salah satu tokoh kunci dalam sejarah perkembangan prinsip dasar tindakan terkecil dalam fisika. Istilah "Fermat fungsional" dinamai sebagai pengakuan atas perannya di lapangan.
Karya utama: Karya utama: “Pengantar teori bidang dan tempat spasial”, “Ad Locos Planos et. Solidos Isagoge” (1636, publ. 1679); “Metode mencari nilai terbesar dan terkecil”, “Methodus ad disquirendam maximam et minima” (diterbitkan tahun 1679), “De tangentibus linearum curvarum”. Diterbitkan dalam koleksi “Berbagai karya matematika” (“Varia opera mathematica”, Tolosae, 1679)
Karir dan kehidupan pribadi:
Asal: Fermat lahir di kota Beaumont-de-Lomagne, dekat Montauban, Prancis. Ia adalah putra Dominique Fermat, seorang pedagang kulit kaya dan kemudian menjadi konsul kedua Beaumont de Lomagne dan Claire de Longue. Dia berasal dari Basque. Ibunya, Claire de Long, adalah seorang guru matematika.
Pendidikan: Hanya ada sedikit bukti tentang dia pendidikan sekolah, tapi dia mungkin pernah belajar di biara Fransiskan setempat. Dia kemudian masuk Universitas Toulouse, di mana dia belajar hukum dan juga bahasa asing, sastra klasik, sains kuno dan matematika.
Tahapan utama kegiatan profesional: Pada paruh kedua tahun 1620-an, dia pindah ke Bordeaux, di mana dia mulai melakukan penelitian matematika serius pertamanya. Dari Bordeaux, Fermat pindah ke Orleans, tempat dia belajar hukum di universitas tersebut. Pada tahun 1631 ia menjadi anggota dewan parlemen dan menerima gelar anggota dewan Mahkamah Agung Toulouse, yang ia pegang hingga akhir hayatnya.
Pada tahun 1648 ia diangkat menjadi penasihat raja di parlemen Toulouse. Ia membuat karier yang pesat dan pada tahun 1652 menjadi hakim ketua pengadilan pidana. Pekerjaannya memungkinkan dia menghabiskan banyak waktu sendirian. Pada masa inilah, mengikuti kecintaannya pada matematika, ia mengembangkan teorema dan teori fundamentalnya.
Tahapan utama kehidupan pribadi: Pada tahun 1631 ia menikah sepupu kepada ibunya, Louise de Long. Mereka memiliki tiga putra dan dua putri. Orang-orang sezaman mencirikannya sebagai orang yang jujur, akurat, seimbang dan baik hati, sangat terpelajar dalam matematika dan humaniora, ahli dalam banyak bahasa kuno dan hidup, di mana ia menulis puisi yang bagus.
Ia meninggal pada 12 Januari 1665 di Castres, Prancis.
Menyorot: Ada keraguan mengenai tanggal pasti kelahirannya. Ia dikatakan dibaptis pada tanggal 20 Agustus 1601, tetapi batu nisannya menyebutkan tahun 1608, bukti lain menunjukkan tahun 1595. Dia adalah seorang pengacara profesional yang belajar matematika di waktu luangnya. Fermat fasih berbahasa Latin, Yunani, Italia dan Spanyol, menulis puisi dalam beberapa bahasa, dan nasihatnya mengenai koreksi teks Yunani dihargai oleh para ahli.
Sir Isaac Newton mengatakan bahwa penemuan kalkulusnya sebagian besar didasarkan pada metode garis singgung Fermat. Ia terkenal dengan Teorema Terakhir Fermat (1637) yang legendaris, yang menyatakan bahwa untuk bilangan asli x, y, z tidak ada bilangan asli n yang lebih besar dari 2 yang memiliki relasi xn + yn = zn. Dia meninggal tanpa mengungkapkan buktinya sampai, pada tahun 1994, ahli matematika Inggris Andrew membuktikannya. Kawah bulan dan jalan di Paris dinamai menurut namanya.
Pierre Fermat lahir pada 17 Agustus 1601 di kota Gascon, Beaumont-de-Lomagne (Prancis). Ayahnya, Dominic Fermat, adalah seorang saudagar kaya, konsul kota kedua; ibu, Claire de Long, adalah seorang guru matematika. Selain Pierre, keluarga itu memiliki satu putra dan dua putri lagi. Fermat menerima pendidikan hukumnya - pertama di Toulouse, dan kemudian di Bordeaux dan Orleans.
Pada tahun 1631, setelah berhasil menyelesaikan studinya, Fermat membeli posisi anggota dewan kerajaan di parlemen (dengan kata lain, anggota pengadilan tinggi) di Toulouse. Pada tahun yang sama, ia menikah dengan kerabat jauh ibunya, Louise de Long. Mereka memiliki lima anak.
Pertumbuhan karir yang pesat memungkinkan Fermat menjadi anggota Dewan Dekrit di kota Castres (1648). Pada posisi inilah ia berutang penambahan tanda kebangsawanan pada namanya - partikel de; sejak saat itu ia menjadi Pierre de Fermat.
Sekitar tahun 1652, Fermat harus menyangkal laporan kematiannya selama epidemi wabah; dia memang terinfeksi tetapi selamat.
Pada tahun 1660, pertemuannya dengan Pascal direncanakan, namun karena kesehatan kedua ilmuwan yang buruk, pertemuan tersebut tidak terlaksana.
Pierre de Fermat meninggal pada 12 Januari 1665 di kota Castres, saat sidang kunjungan pengadilan. Awalnya ia dimakamkan di sana, di Castres, namun tak lama kemudian (1675) abunya dipindahkan ke makam keluarga Fermat, di gereja Augustinian (Toulouse). Putra tertua, Clément-Samuel, menerbitkan koleksi karyanya secara anumerta, yang darinya orang-orang sezamannya mengetahui tentang penemuan luar biasa Pierre Fermat.
Orang-orang sezaman mencirikan Fermat sebagai orang yang jujur, akurat, seimbang dan ramah, sangat terpelajar baik dalam matematika maupun humaniora, ahli dalam banyak bahasa kuno dan hidup, di mana ia menulis puisi yang bagus.
Kegiatan ilmiah
Pekerjaan seorang anggota dewan di parlemen kota Toulouse tidak menghalangi Fermat untuk mengerjakan matematika. Lambat laun, ia memperoleh ketenaran sebagai salah satu ahli matematika pertama di Prancis, meskipun ia tidak menulis buku (belum ada jurnal ilmiah), membatasi dirinya hanya pada surat kepada rekan-rekannya. Di antara korespondennya adalah R. Descartes, J. Desargues, J. Roberval dan lain-lain.
Penemuan Fermat sampai kepada kita berkat kumpulan korespondensinya yang luas (terutama melalui Mersenne), yang diterbitkan secara anumerta oleh putra Fermat.
Berbeda dengan Galileo, Descartes dan Newton, Fermat adalah seorang ahli matematika murni - ahli matematika besar pertama di Eropa baru. Terlepas dari Descartes, ia menciptakan geometri analitik. Sebelumnya, Newton mengetahui cara menggunakan metode diferensial untuk menggambar garis singgung, mencari maksimum, dan menghitung luas. Benar, Fermat, tidak seperti Newton, tidak mereduksi metode-metode ini menjadi sebuah sistem, namun Newton kemudian mengakui bahwa karya Fermatlah yang mendorongnya untuk membuat analisis.
Namun kelebihan utamanya adalah penciptaan teori bilangan.
Teori bilangan
Matematikawan Yunani Kuno Sejak zaman Pythagoras, berbagai pernyataan yang berkaitan dengan bilangan asli telah dikumpulkan dan dibuktikan (misalnya, metode membangun semua kembar tiga Pythagoras, metode membangun bilangan sempurna, dll). Diophantus dari Alexandria (abad ke-3 M) dalam bukunya “Aritmatika” membahas banyak masalah tentang penyelesaian persamaan aljabar dengan beberapa bilangan rasional yang tidak diketahui (saat ini persamaan yang perlu diselesaikan dalam bilangan bulat disebut Diophantine). Buku ini (tidak sepenuhnya) mulai dikenal di Eropa pada abad ke-16, dan pada tahun 1621 diterbitkan di Perancis dan menjadi buku referensi Peternakan.
Fermat selalu tertarik pada masalah aritmatika dan bertukar masalah kompleks dengan orang-orang sezamannya. Misalnya, dalam suratnya yang berjudul “Tantangan Kedua bagi Ahli Matematika” (Februari 1657), ia mengusulkan untuk menemukan aturan umum solusi persamaan Pell dalam bilangan bulat. Dalam surat tersebut, ia mengusulkan untuk mencari solusi untuk a = 149, 109, 433. Solusi lengkap untuk masalah Fermat baru ditemukan pada tahun 1759 oleh Euler.
Fermat memulai dengan soal tentang kotak dan kubus ajaib, tetapi secara bertahap beralih ke hukum bilangan asli - teorema aritmatika. Pengaruh Diophantus pada Fermat tidak dapat disangkal, dan merupakan simbol bahwa ia menuliskan penemuannya yang menakjubkan di pinggir Aritmatika.
Fermat menemukan bahwa jika a tidak habis dibagi bilangan prima p, maka bilangan tersebut selalu habis dibagi p (lihat Teorema Kecil Fermat). Euler kemudian memberikan bukti dan generalisasi hasil penting ini: lihat teorema Euler.
Setelah mengetahui bahwa suatu bilangan adalah bilangan prima untuk k? 4, Fermat memutuskan bahwa bilangan-bilangan ini adalah bilangan prima untuk semua k, tetapi Euler kemudian menunjukkan bahwa untuk k = 5 terdapat pembagi 641. Masih belum diketahui apakah himpunan tersebut berhingga atau tak terhingga bilangan prima Peternakan.
Euler membuktikan (1749) dugaan Fermat lainnya (Fermat sendiri jarang memberikan bukti pernyataannya): bilangan prima bentuk 4k+1 direpresentasikan sebagai jumlah kuadrat (5=4+1; 13=9+4), dan dalam dengan cara yang unik, dan untuk bilangan yang mengandung bilangan prima berbentuk 4k+3 pangkat ganjil dalam faktorisasi primanya, representasi seperti itu tidak mungkin dilakukan. Bukti ini membuat Euler menghabiskan 7 tahun kerja; Fermat sendiri membuktikan teorema ini secara tidak langsung, dengan menggunakan “metode keturunan tak terbatas” induktif yang ia ciptakan. Metode ini baru dipublikasikan pada tahun 1879; Namun, Euler merekonstruksi esensi metode ini berdasarkan beberapa komentar dalam surat Fermat dan berhasil menerapkannya beberapa kali. Kemudian, versi perbaikan dari metode ini digunakan oleh Poincaré dan Andre Weil.
Fermat mengembangkan metode untuk mencari secara sistematis semua pembagi suatu bilangan dan merumuskan teorema tentang kemungkinan merepresentasikan suatu bilangan sembarang dengan jumlah tidak lebih dari empat kuadrat (teorema Lagrange tentang jumlah empat kuadrat). Pernyataannya yang paling terkenal adalah Teorema Terakhir Fermat (lihat di bawah).
Banyak penemuan aritmatika Fermat yang mendahului zamannya dan dilupakan selama 70 tahun, sampai Euler menjadi tertarik pada penemuan tersebut, dan menerbitkan teori sistematika bilangan. Salah satu alasannya adalah minat sebagian besar matematikawan telah beralih ke analisis matematika.
Analisis matematika dan geometri
Peternakan sudah hampir tiba aturan modern menemukan garis singgung kurva aljabar. Karya-karya inilah yang mendorong Newton menciptakan analisis. Dalam buku teks analisis matematika, Anda dapat menemukan lemma Fermat yang penting, atau tanda penting dari suatu ekstrem: pada titik ekstrem, turunan suatu fungsi sama dengan nol.
Fermat merumuskan hukum umum diferensiasi pangkat pecahan dan memperluas rumus pengintegrasian pangkat ke kasus pangkat pecahan dan eksponen negatif.
Bersama Descartes, Fermat dianggap sebagai pendiri geometri analitik. Dalam karyanya “Introduction to the Theory of Planar and Spatial Places,” yang menjadi terkenal pada tahun 1636, ia adalah orang pertama yang mengklasifikasikan kurva berdasarkan urutan persamaannya, menetapkan bahwa persamaan orde pertama mendefinisikan garis lurus, dan a persamaan orde kedua mendefinisikan bagian berbentuk kerucut. Mengembangkan ide-ide ini, Fermat melangkah lebih jauh dari Descartes dan menerapkan geometri analitik pada ruang.
Prestasi lainnya
Terlepas dari Pascal, Fermat mengembangkan dasar-dasar teori probabilitas. Dari korespondensi antara Fermat dan Pascal (1654), di mana mereka, khususnya, sampai pada konsep ekspektasi matematis dan teorema penjumlahan dan perkalian probabilitas, ilmu pengetahuan yang luar biasa ini memulai sejarahnya. Hasil Fermat dan Pascal diberikan dalam buku Huygens On the Calculations of Gambling (1657), manual pertama tentang teori probabilitas.
Nama Fermat mengacu pada prinsip dasar optik geometris, yang karenanya cahaya dalam medium tidak homogen memilih jalur yang membutuhkan waktu paling sedikit (namun, Fermat percaya bahwa kecepatan cahaya tidak terbatas, dan merumuskan prinsip tersebut dengan lebih samar). Dengan tesis ini dimulailah sejarah hukum utama fisika - prinsip tindakan terkecil.
Fermat mentransfer algoritma Vieta untuk masalah Apollonius (menyentuh lingkaran) ke kasus tiga dimensi (tangensi internal bola).
Teorema Terakhir Fermat
Fermat dikenal luas karena apa yang dikenal sebagai teorema terakhir Fermat. Teorema ini dirumuskan olehnya pada tahun 1637, di pinggir buku “Aritmatika” oleh Diophantus dengan catatan bahwa bukti cerdik dari teorema ini yang ia temukan terlalu panjang untuk diberikan di pinggirnya.
Kemungkinan besar, pembuktiannya tidak benar, karena ia kemudian menerbitkan bukti hanya untuk kasus tersebut. Buktinya, ditemukan pada tahun 1994 oleh Andrew Wiles, mencapai 129 halaman dan diterbitkan dalam Annals of Mathematics pada tahun 1995.
Kesederhanaan rumusan teorema ini menarik banyak matematikawan amatir, yang disebut Fermatis. Bahkan setelah keputusan Wiles, surat-surat dengan “bukti” teorema besar Fermat dikirim ke semua akademi sains.
Keabadian memori
- Lyceum Toulouse tertua dan paling bergengsi bernama Fermat (Lyc?e Pierre de Fermat).
Fermat Pierre (1601-1665), matematikawan Perancis.
Lahir pada 17 Agustus 1601 di Beaumont-de-Lomagne, dalam keluarga seorang anggota dewan kota yang bergerak di bidang perdagangan. Dia belajar di Toulouse di universitas lokal. Setelah mengenyam pendidikan hukum, pada tahun 1631 Farm memasuki pelayanan publik ke Kamar Kasasi Parlemen Toulouse (badan peradilan). Awalnya ia menjabat sebagai komisaris untuk menerima petisi, dan pada tahun 1648 ia dipromosikan menjadi penasihat.
Ia menikah dengan kerabat jauh dari pihak ibunya, Louise de Long (1631). Dari lima bersaudara yang lahir dalam keluarga tersebut, diketahui putra sulung Samuel yang pada tahun 1679 menerbitkan kumpulan karya pertama ayahnya.
Minat ilmiah Fermat mencakup banyak bidang. Setelah mempelajari beberapa bahasa, dia tertarik pada puisi, mengomentari penulis kuno, dan mempelajari fenomena optik. Sepanjang hidupnya ia memelihara korespondensi ekstensif dengan banyak pemikir, termasuk B. Pascal, R. Descartes.
Matematika selalu menjadi hobi bagi Fermat, namun ia meletakkan dasar bagi banyak bidangnya - geometri analitik, kalkulus yang sangat kecil, persamaan diferensial, teori probabilitas. Beberapa penemuannya jauh lebih maju dari zamannya.
Ia dikenal sebagai penulis dua teorema terkenal dalam teori bilangan yang dinamai menurut namanya: teorema kecil Fermat dan teorema terakhir Fermat. Mengenai yang terakhir ini, di pinggir salah satu bukunya, dia menulis: “Saya menemukan bukti yang sangat bagus mengenai hal ini, namun margin ini terlalu kecil untuk itu.”
Ironisnya, teorema besar itulah yang untuk waktu yang lama tetap menjadi pemegang rekor jumlah upaya pembuktian yang gagal. Baru pada tahun 1994 ahli matematika Amerika E. Wiles mampu merumuskan bukti umumnya.
Tepat 350 tahun yang lalu, ahli matematika Pierre de Fermat, yang sepanjang hidupnya bekerja di pengadilan, meninggal di Prancis. Ia menjadi terkenal sebagai pencipta Teorema Besar, yang buktinya membutuhkan waktu lebih dari 300 tahun untuk ditemukan.
“Rumus aⁿ + bⁿ = cⁿ tidak memiliki solusi non-fraksional untuk n > 2” - ini adalah rumusan dari salah satu teorema matematika paling terkenal, yang lebih dikenal dengan Teorema Terakhir Fermat (sering disebut Teorema Terakhir Fermat). Orang Prancis Pierre Fermat merumuskannya pada tahun 1637; selama bertahun-tahun, teorema ini telah mendapatkan popularitas luas tidak hanya di kalangan ilmuwan, tetapi juga dalam budaya populer.
Tapi hal pertama yang pertama. Tidak banyak yang diketahui tentang kehidupan Pierre Fermat. Ia dilahirkan pada 17 Agustus 1601 di kota kecil Beaumont-de-Lomagne dalam keluarga seorang saudagar kaya, konsul kota kedua, Dominique Fermat, dan Claire de Long, yang berasal dari keluarga pengacara. Ayahnya yang pengasih, Dominic, memberikan anak-anaknya, dan ada empat dari mereka dalam keluarga - dua laki-laki dan dua perempuan pendidikan yang baik. Pierre lulus kuliah di kampung halamannya, dan kemudian belajar di Toulouse, Bordeaux dan Orleans, di mana ia menerima gelar sarjana. Matematika tetap menjadi gairah sejati Pierre Fermat sepanjang hidupnya, namun karena berbagai keadaan, para ilmuwan pada saat itu tidak dapat sepenuhnya mengabdikan diri pada ilmu yang mereka cintai, dan pencipta Teorema Besar di masa depan memilih yurisprudensi sebagai sebuah profesi.
Pada tahun 1630, Pierre Fermat menetap di Toulouse, di mana ia menjabat sebagai penasihat parlemen, yaitu pengadilan tertinggi. Pada tahun yang sama ia menikah dengan kerabat jauh ibunya, Louise de Long. Orang-orang sezamannya mencatat kejujuran dan keakuratannya, dia "terkenal sebagai salah satu pengacara terbaik pada masanya," yang memungkinkan dia pada tahun 1648 menjadi anggota Kamar Dekrit di kota Castres dan menambahkan partikel de ke namanya - tanda kebangsawanan.
Selain prestasinya yang luar biasa sebagai pengacara, Pierre Fermat juga dikenal sebagai seorang poliglot dan ahli di bidang jaman dahulu - bahkan di perguruan tinggi ia menguasai beberapa hal. bahasa asing, kemudian menulis puisi dalam bahasa Prancis, Latin dan Spanyol, dan juga menjadi penasihat penerbit karya-karya Yunani kuno.
Namun Pierre Fermat mendapatkan ketenaran luas sebagai ilmuwan. Dia belajar matematika bukan karena kewajiban, tetapi hanya karena dia menyukainya. Dia tertarik dengan pola dan misterinya. Kontribusinya terhadap pengembangan geometri analitik dan analisis matematis diakui.
Salah satu karya matematika pertama Pierre Fermat adalah upaya untuk merekonstruksi, dari referensi yang masih ada, risalah yang hilang dari matematikawan Yunani kuno Apollonius, “The Flat Places.”
Fermat adalah orang pertama yang menerapkan aljabar huruf pada masalah geometri, memperkenalkan konsep besaran yang sangat kecil ke dalam geometri analitik, mengusulkan metode untuk mencari titik ekstrem dan menggambar garis singgung pada kurva sembarang, metode untuk menghitung luas yang dibatasi oleh “parabola” dan “setiap” hiperbola”, menunjukkan bahwa luas suatu bangun tak terbatas mungkin bersifat final. Dialah orang pertama yang menangani masalah penghitungan panjang busur kurva (masalah pelurusan kurva) dan mereduksi masalah ini menjadi penghitungan luas.
Menurut beberapa laporan, Pierre Fermat melihat hubungan yang saling berbanding terbalik antara metode penentuan luas dan pencarian garis singgung, dan selangkah lagi dari konsep “integral”, tetapi tidak mengembangkan arah ini. Setelah kematian Fermat, “masalah luas” dan “masalah garis singgung” dihubungkan oleh Newton dan Leibniz, yang berhak menjadi pendiri kalkulus diferensial dan integral. Newton mengakui bahwa karya Fermat sangat penting baginya dan mendorongnya untuk melakukan penelitian ke arah tersebut.
Pada saat itu, belum ada jurnal ilmiah yang diterbitkan secara berkala, sehingga korespondensi pribadi para ilmuwan sangat penting dalam penyebaran dan diskusi gagasan ilmiah. Fermat memelihara korespondensi yang luas dengan Descartes, ayah dan anak Pascal, Huygens, Torricelli, de Bessy, Wallis - ahli matematika terhebat saat itu - baik secara langsung atau melalui Marin Mersenne - teolog dan matematikawan, semacam koordinator pemikiran ilmiah, yang terlibat dalam reproduksi surat-surat dan manuskrip di kalangan ilmuwan yang tertarik pada isu-isu yang dekat dengan isu-isu yang sedang dibahas. Saat ini Mersenne dikenal terutama sebagai peneliti bilangan bentuk 2n - 1 ("bilangan Mersenne"), yang berperan penting dalam teori bilangan dan kriptografi.
Fermat menyelesaikan beberapa risalah ilmiah, namun tidak satupun yang diterbitkan selama hidupnya. Namun demikian, mereka menjadi dikenal dalam manuskrip di kalangan ahli matematika. Secara khusus, pada tahun 1636, Fermat menyelesaikan karya “Pengantar Teori Tempat Planar dan Spasial,” di mana kurva pertama kali diklasifikasikan berdasarkan urutan persamaan.
Saat ini, bahkan anak-anak sekolah yang mempelajari dasar-dasar analisis matematika mengetahui bahwa turunan suatu fungsi pada titik ekstrem, maksimum atau minimum, sama dengan nol. Meskipun konsep “turunan” belum ada, hal inilah yang diungkapkan dalam lemma Fermat.
Karya “Metode Menemukan Maxima dan Minima,” yang diberikan kepada Mersenne pada tahun 1636, dikritik oleh Descartes. Fermat, setelah berdebat, menjawab lawannya dengan tenang dan terkendali, meskipun bukannya tanpa ironi, menjelaskan lebih rinci esensi metodenya, yang mencirikannya sebagai pribadi dan ilmuwan.
Pierre Fermat adalah pendiri bidang matematika yang sekarang disebut teori probabilitas. Dalam korespondensi Fermat dengan Blaise Pascal, konsep ekspektasi matematis didefinisikan dan teorema penjumlahan dan perkalian probabilitas dirumuskan. Hasil diskusi tersebut diberikan dalam karya Christiaan Huygens "On perhitungan dalam permainan untung-untungan" (1657).
Namun, keunggulan utama Fermat dianggap sebagai penciptaan teori bilangan. Baik orang-orang sezamannya, maupun ahli matematika di kemudian hari hingga Leonhard Euler, yang hidup pada abad ke-18, tidak memahami pentingnya masalah yang diangkatnya.
Pierre Fermat mulai mempelajari sifat-sifat bilangan bulat pada tahun 40an. Pada tanggal 18 Oktober 1640, dalam suratnya kepada ahli matematika Perancis Bernard Frenicles, Pierre Fermat merumuskan teorema berikut: jika bilangan a tidak habis dibagi bilangan prima p, maka (ap-1-1) habis dibagi p. Pernyataan ini, yang disebut Teorema Kecil Fermat, dibiarkan tanpa pembuktian oleh Fermat. Hal ini kemudian dibuktikan dan digeneralisasikan oleh Leonhard Euler, seorang matematikawan Swiss, Jerman dan Rusia. Perlu dicatat di sini bahwa ilmuwan tidak hanya suka menciptakan teorema baru, tetapi juga menggoda orang-orang sezamannya, mengundang mereka untuk menemukan bukti.
Dari seluruh warisan zaman kuno, dua buku telah sampai kepada kita yang membahas pertanyaan-pertanyaan teori bilangan - "Elemen" Euclid dan "Aritmatika" Diophantus. Buku kedua sudah lama tidak diketahui, baru pada abad ke-16 ditemukan di perpustakaan Vatikan, dan belum seluruhnya. Itu dikhususkan untuk menyelesaikan persamaan tak tentu dalam bilangan rasional. Buku itu tidak memuat teorema, dalam pemahaman kita tentang kata tersebut.
Buku inilah yang diterbitkan di Prancis pada awal abad ke-17 yang menjadi buku referensi Fermat. Di pinggirnya pada tahun 1637 Pierre Fermat membuat catatan terkenal yang menjadi Teorema Besar dalam namanya: berlawanan dengan permasalahan ahli matematika Yunani kuno: “Bagilah suatu bilangan kuadrat menjadi dua bilangan kuadrat lainnya,” Fermat menulis: “Pada sebaliknya, tidak mungkin menguraikan sebuah kubus menjadi dua kubus, bukan biquadrat dengan dua biquadrate, dan secara umum tidak lebih besar dari persegi dengan dua derajat dengan eksponen yang sama. Saya telah menemukan bukti yang sangat bagus tentang hal ini, tapi ladang ini terlalu sempit untuk itu.”
Dengan catatan inilah nasib menakjubkan dari teorema paling populer dan sulit dibuktikan di dunia dimulai. Mengejutkan, meskipun hanya karena teorema tanpa bukti adalah hipotesis, namun saat ini Fermat sudah mendapatkan reputasi sebagai orang yang tidak pernah melakukan kesalahan. Selain itu, ia meninggalkan bukti teorema pangkat empat, menggunakan "metode keturunan tak terbatas atau tak terbatas", yang dengannya Leonhard Euler membuktikan teorema untuk kasus n = 3 pada tahun 1770. Setengah abad kemudian, ahli matematika Jerman Johann Dirichlet, bersama dengan orang Prancis Adrien Marie Legendre, membuktikan Teorema Besar untuk kasus khusus n = 5, dan pada tahun 1839, Gabriel Lamé - untuk n = 7. Pada akhir tahun 30an - awal tahun 40an Pada abad ke-18, ahli matematika Jerman Ernst Eduard Kummer menemukan bukti untuk semua bilangan prima n kurang dari 100.
Sejumlah penelitian yang dilakukan oleh para ahli matematika mengarah pada konstruksi teori-teori baru dalam aritmatika bilangan aljabar. Dan popularitas teorema tersebut menyebabkan fakta bahwa tidak hanya para ilmuwan, tetapi juga para amatir mencoba menemukan buktinya. Keduanya mulai disebut “Fermatis”.
Pada tahun 1908, matematikawan amatir Paul Wolfskehl mengumumkan hadiah sebesar 100 ribu mark Jerman bagi orang pertama yang membuktikan Teorema Terakhir Fermat dalam waktu 100 tahun. Setelah Perang Dunia Pertama, jumlah yang diwariskan menjadi tidak berharga, namun, pada saat itu, para matematikawan profesional menolak membuang-buang waktu untuk mencari bukti, karena mereka menganggapnya sebagai hal yang sia-sia, tetapi di kalangan amatir, hal itu menjadi semacam mode. Pada tahun 1972, majalah "Kvant" bahkan memperingatkan pembacanya bahwa "surat dengan rancangan bukti teorema Fermat tidak akan dipertimbangkan (dan dikembalikan)," dan ilmuwan Jerman Edmund Landau menginstruksikan mahasiswa pascasarjananya untuk menemukan kesalahan dalam karya "Fermatists " mengirimkan kepadanya dan mengirimkan surat kepada penulis dengan isi sebagai berikut: "Terima kasih telah mengirimkan saya naskah dengan bukti Teorema Terakhir Fermat. Kesalahan pertama ada di halaman ... di baris ..."
Namun bukti lengkap telah ditemukan! Hal ini diberikan pada tahun 1995, tiga setengah abad setelah teorema dirumuskan, oleh ahli matematika Inggris dan Amerika Andrew John Wiles. Wiles pertama kali mengetahui keberadaan teorema Fermat pada usia sepuluh tahun. Setelah upaya pertamanya untuk menemukan bukti gagal, ia beralih mempelajari karya ilmuwan “fermatis”, mempelajari matematika, dan kembali ke teorema beberapa tahun kemudian. Tujuh tahun kerja keras dalam kerahasiaan mutlak membuahkan hasil - pada tahun 1993, ia pertama kali menunjukkan kepada dunia bukti Teorema Terakhir Fermat. Namun, bukti tersebut memerlukan verifikasi yang serius, sehingga ditemukan kesalahan ceroboh, meskipun para ahli sepakat bahwa secara umum keputusan tersebut tepat. Wiles, yang sejak kecil menganggap pencarian bukti Teorema Terakhir Fermat sebagai pekerjaan hidupnya, meminta bantuan ahli teori bilangan Richard Taylor, dan setahun kemudian mereka menerbitkan bukti yang dikoreksi dan diperluas. Solusinya, berjumlah 130 halaman, diterbitkan dalam Annals of Mathematics pada Mei 1995. Dan pada tahun 1997, Wiles menerima $50.000 sebagai Hadiah Wolfskehl. Sejak saat itu, Teorema Terakhir Fermat telah dibuktikan secara resmi.
Sedangkan Pierre Fermat sendiri tidak meninggalkan warisan apapun. Selama bertahun-tahun dia sedang mengerjakan serangkaian karya, tetapi pekerjaannya yang intens di pengadilan tampaknya menghalangi dia untuk mewujudkan rencananya. Pada tahun 1679, koleksi pertama karya Fermat dirilis dan diterbitkan oleh putra sulung ilmuwan tersebut, Samuel.
Pierre Fermat meninggal pada 12 Januari 1665 saat sidang kunjungan pengadilan di kota Castres; 10 tahun kemudian abunya dipindahkan ke makam keluarga Fermat di Toulouse.
Irina Kravtsova. TVC.RU
Perkenalan
375 tahun telah berlalu sejak Pierre Fermat menguraikan Teorema Besar di pinggir bukunya, yang membuat khawatir semua ilmuwan.
Selama bertahun-tahun, para ilmuwan telah mencoba membuktikan teorema ini.
Namun ciptaan unik Fermat ini sendiri telah didorong “bawah tanah” selama satu abad penuh, dinyatakan sebagai “penjahat”, dan telah menjadi masalah yang paling tercela dan dibenci sepanjang sejarah matematika. Namun waktunya telah tiba bagi “itik jelek” matematika ini untuk berubah menjadi angsa yang cantik! Teka-teki Fermat yang menakjubkan telah mendapatkan haknya untuk mengambil tempat yang selayaknya dalam perbendaharaan pengetahuan matematika dan di setiap sekolah di dunia selain saudara perempuannya - teorema Pythagoras. Masalah yang begitu unik dan elegan pasti mempunyai solusi yang indah dan elegan. Jika teorema Pythagoras mempunyai 400 pembuktian, maka mula-mula teorema Fermat hanya mempunyai 4 pembuktian sederhana.
Mungkin secara bertahap akan ada lebih banyak lagi.
Saya ingin membicarakan masalah unik yang dihadapi semua ilmuwan ini.
Biografi Pierre Fermat
Pierre Fermat lahir di selatan Prancis di kota Beaumont-de-Lomagne, di mana ayahnya, Dominique Fermat, adalah "konsul kedua", yaitu asisten walikota.
Fermat mengarahkan seluruh kekuatan kejeniusannya pada penelitian matematika. Namun matematika tidak menjadi profesinya. Peternakan memilih yurisprudensi. Sejak 1630, Fermat pindah ke Toulouse, di mana ia menerima jabatan penasihat di Parlemen (yaitu pengadilan). Pada tahun 1631, Fermat menikah dengan kerabat jauh dari pihak ibunya, Louise de Longe. Pierre dan Louise memiliki lima anak, yang tertua, Samuel, menjadi penyair dan ilmuwan.
Jasa besar Fermat terhadap sains biasanya terlihat dalam pengenalan kuantitas yang sangat kecil ke dalam geometri analitik, seperti yang telah dilakukan Kepler sebelumnya dalam kaitannya dengan geometri zaman dahulu.
Sebelum Fermat, metode sistematis untuk menghitung luas dikembangkan oleh ilmuwan Italia Cavalieri. Namun pada tahun 1642, Fermat menemukan metode untuk menghitung luas yang dibatasi oleh “parabola” dan “hiperbola”. Mereka diperlihatkan bahwa luas suatu bangun yang tidak terbatas dapat berhingga.
Fermat adalah salah satu orang pertama yang mengatasi masalah pelurusan kurva, yaitu. dengan menghitung panjang busurnya. Ia berhasil mereduksi masalah ini pada penghitungan beberapa area.
Meskipun kurangnya bukti (hanya satu yang bertahan), sulit untuk melebih-lebihkan pentingnya karya Pierre Fermat di bidang teori bilangan. Dia sendiri yang berhasil mengisolasi dari kekacauan permasalahan dan pertanyaan-pertanyaan khusus yang langsung muncul di hadapan seorang peneliti ketika mempelajari sifat-sifat bilangan bulat, permasalahan utama yang menjadi sentral dari keseluruhan teori bilangan klasik. Ia juga memiliki penemuan yang sakti metode umum untuk membuktikan proposisi teori bilangan - yang disebut metode keturunan tak tentu atau tak terbatas, yang akan dibahas di bawah. Oleh karena itu, Fermat berhak dianggap sebagai pendiri teori bilangan.
Pada bulan Oktober 1640, Fermat membuat pernyataan berikut: jika bilangan a tidak habis dibagi bilangan prima p, maka ada eksponen k sehingga a-1 habis dibagi p, dan merupakan pembagi dari p-1. Pernyataan ini disebut teorema kecil Fermat. Ini merupakan hal mendasar dalam semua teori bilangan dasar.
Dalam soal buku kedua Aritmatikanya, Diophantus menetapkan tugas untuk merepresentasikan kuadrat tertentu sebagai jumlah dari dua kuadrat rasional. Di pinggir masalah ini, Fermat menulis: “Sebaliknya, tidak mungkin menguraikan kubus menjadi dua kubus, atau bikuadrat menjadi dua bikuadrat, atau secara umum menjadi pangkat apa pun yang lebih besar dari kuadrat menjadi dua pangkat yang sama. eksponen. Saya telah menemukan bukti yang sangat bagus tentang hal ini, tetapi bidang ini terlalu sempit untuknya." Ini adalah Teorema Besar yang terkenal.
Teorema Besar menempati urutan pertama dalam hal jumlah bukti salah yang diberikan padanya. Teorema Besar tidak hanya dikaitkan dengan teori bilangan aljabar, tetapi juga dengan geometri aljabar yang kini sedang dikembangkan secara intensif.
Fermat sendiri meninggalkan bukti Teorema Terakhir untuk pangkat empat.
Pada abad terakhir, Kummer, mengerjakan Teorema Terakhir Fermat, menyusun aritmatika untuk bilangan bulat aljabar jenis tertentu. Hal ini memungkinkan dia untuk membuktikan Teorema Besar untuk kelas eksponen prima tertentu n. Saat ini, validitas Teorema Besar telah diverifikasi untuk semua eksponen n kurang dari 5500.
Di antara karya-karya Pierre Fermat lainnya yang masih perlu disebutkan:
) tentang studinya dalam memecahkan pertanyaan-pertanyaan tertentu tentang teori probabilitas, yang disebabkan atau ditimbulkan oleh korespondensi dengan Blaise Pascal;
) tentang upaya untuk memulihkan beberapa karya matematikawan Yunani kuno yang hilang dan, akhirnya,
) tentang perselisihannya dengan Descartes mengenai metode penentuan besaran terbesar dan terkecil serta masalah dioptri.
Orang-orang sezaman mencirikan Fermat sebagai orang yang jujur, akurat, seimbang dan ramah, sangat terpelajar baik dalam matematika maupun humaniora, ahli dalam banyak bahasa kuno dan hidup, di mana ia menulis puisi yang bagus.
Poligon beraturan
Saya ingin tahu kapan mungkin untuk membuat n-gon beraturan menggunakan kompas dan penggaris. Untuk mendapatkan jawaban yang masuk akal, Anda perlu memperjelas rumusan masalah. Yaitu, Anda perlu memperbaiki ukuran dan posisi n-gon beraturan (jika tidak, jumlah solusi tidak akan terbatas, asalkan ada setidaknya satu solusi). Jadi, kita asumsikan bahwa n-gon kita berada pada lingkaran tertentu g dengan pusat O, dan posisi A0 pada salah satu simpulnya tetap. Diperlukan untuk menentukan posisi A1, A2, ..., An-1 dari simpul yang tersisa. Tentu saja, cukup mencari posisi titik A1 - dengan meletakkan busur berturut-turut A0A1, kita mendapatkan titik A2, A3, A4, dll.
Cara termudah untuk menyelesaikan masalah ini adalah dengan n=6. Diketahui bahwa sisi segi enam beraturan sama dengan jari-jari lingkaran tertentu. Oleh karena itu, “program” yang diperlukan terlihat seperti ini (Lampiran 1):
Dengan menggunakan kompas, buatlah lingkaran G1 dari titik A0 dengan jari-jari OA0.
Tandai titik potong A1 lingkaran G dan G1.
Kita melihat bahwa program ini menghasilkan dua jawaban yang berbeda, tetapi segi enam yang bersesuaian A0A1'A2'A3'A4'A5' dan A0A1"A2"A3"A4"A5" hanya berbeda dalam urutan penomoran simpul. Situasi yang sama diamati dalam kasus n=3 dan n=4. Kasus yang lebih menarik adalah n=5 dan n=10. Saya akan menganalisis kasus n=10 di sini.
Jika kita menggambar garis bagi A1B dari sudut OA1A0, maka segitiga OA1B, BA1A0 yang dihasilkan adalah sama kaki, dan segitiga OA1A0 dan BA1A0 adalah sebangun. Kita akan menganggap garis lurus OA0 sebagai sumbu bilangan, di mana titik O sama dengan nol, dan titik A0 sama dengan satu.
Setelah menyelesaikan persamaan ini, kita akan menemukan titik B. Titik A1 yang diinginkan akan ditemukan sebagai titik potong lingkaran tertentu G dengan lingkaran yang berpusat di titik A0 dan berjari-jari panjang x. Ada 2 titik seperti itu - dan kita mendapatkan dua solusi: titik A1' dan A1”.
Akar kedua adalah negatif dan oleh karena itu tampaknya tidak cocok. Namun, jangan terburu-buru “membuang” akar ini, tetapi mari kita coba memahami makna geometrisnya.
Mari kita kembalikan gambar sebelumnya (Lampiran 3), mengingat titik B bukan di sebelah kanan, melainkan di sebelah kiri titik O. Kita akan mendapatkan gambar yang lain (Lampiran 3). Ini akan memberikan dua kemungkinan posisi lagi untuk titik A1 yang diinginkan: A1”' dan A1””.
Jadi, kita sampai pada empat kemungkinan berbeda untuk poin A1. Hasilnya adalah dua dekagon yang berbeda: cembung dan berbentuk bintang (Lampiran 2,3).
Perhatikan bahwa dari “sudut pandang” kompas dan penggaris, segi sepuluh berbentuk bintang tidak lebih buruk dari segi sepuluh cembung.
Keberatan mungkin terjadi: dalam poligon cembung, sisi-sisi yang tidak berdekatan tidak berpotongan, tetapi dalam poligon bintang, sisi-sisi tersebut berpotongan. Namun keberatan ini hilang jika kita menyebut suatu sisi bukan ruas antara dua simpul (kita tidak memiliki konsep “antara”!), melainkan keseluruhan garis lurus. Maka gambar segi sepuluh “cembung” yang benar akan mempunyai tampilan yang hanya berbeda ukurannya dengan gambar “berbentuk bintang” (Lampiran 4).
Situasi serupa muncul dalam kasus segi lima. Di sini juga ada 4 solusi yang mengarah ke dua segi lima berbeda (Lampiran 5, a, b) dengan dua penomoran simpul berbeda di masing-masing segi.
Sekarang, tanpa secara eksplisit menyelesaikan masalah pembuatan segitiga beraturan sembarang, mari kita coba menentukan berapa banyak solusi berbeda yang dimilikinya. Mari kita nyatakan dengan x panjang busur A0A1. Titik A1 merupakan penyelesaian masalah (dari sudut pandang kompas), jika dengan meletakkan busur yang panjangnya x dari titik A0 secara berurutan sebanyak n kali, kita akan kembali ke titik awal A0, dan dengan menunda a beberapa kali lebih kecil, kami tidak akan kembali.
Pemesanan terakhir sangat penting, jika tidak, dalam kasus, misalnya, n = 6, kita harus menyebut segitiga yang dilalui dua kali, atau diameter yang dilalui tiga kali, atau bahkan titik A0 diulang enam kali, sebagai “segi enam bertulisan beraturan”.
Dalam bahasa aritmatika, jika panjang seluruh lingkaran adalah satu, maka syarat kita dapat dirumuskan sebagai berikut: bilangan nx adalah bilangan bulat, dan bilangan x, 2x, 3x, ..., (n-1) x bukan bilangan bulat. Hal ini sesuai dengan empat solusi yang sebelumnya kita temukan secara geometris. Perhatikan bahwa jika kita mengambil suatu bilangan (atau , ,...) sebagai x, maka kita tidak akan mendapatkan solusi geometri baru: posisi suatu titik pada lingkaran tidak bergantung pada bilangan x = itu sendiri, tetapi pada sisanya, yang mana menghasilkan k bila dibagi n. Jelasnya, pecahan tak tersederhanakan (m N-gon beraturan dapat dibuat dengan kompas dan penggaris hanya jika φ(n)=2l untuk suatu bilangan bulat l. (Misalnya, tidak mungkin membuat segi tujuh beraturan, karena bilangan φ(n) = 6 bukan pangkat dua.) Saya mencoba menjelaskan perlunya kondisi ini. Fakta bahwa itu juga cukup adalah hasil tersendiri. bilangan Fermat Hasil yang diperoleh tidak menyelesaikan tugas sepenuhnya. Pertanyaannya masih belum jelas: apakah ada banyak bilangan n yang φ(n)=2l, yaitu Apakah ada banyak angka “merah”? Tentu saja, untuk setiap bilangan kita dapat mengetahui dengan cepat apakah bilangan tersebut berwarna merah atau hitam - cukup hitung φ(n). Namun hal ini tidak akan memberikan gambaran yang jelas tentang keseluruhan rangkaian angka merah tersebut. Ternyata pencarian deskripsi seperti itu mengarah pada masalah teori bilangan yang sulit dan masih belum terpecahkan. Mari kita faktorkan n menjadi faktor prima:=p1m1p2m2…pkmk, dimana p1,…,рk adalah bilangan prima yang berbeda, dan hitunglah φ(n). Dari sifat-sifat fungsi Euler (1) dan (2) kita peroleh: φ(n)=φ(p1m1)φ(р2m2)…φ(pkmk)=p1m1-1p2m2-1(p1-1)(p2-1)…(pk-1). Agar ruas kanan persamaan terakhir merupakan pangkat dua, setiap faktor prima ganjil p1 harus memasukkannya dengan eksponen m1=1: dalam hal ini, bilangan p1 itu sendiri harus berbentuk p1=2l+1. Sebaliknya, persamaan 2l+1 bisa menjadi sederhana hanya jika l adalah pangkat dua. Jadi, setiap faktor ganjil p1=+1. Bilangan berbentuk +1 disebut bilangan Fermat. Lima bilangan Fermat pertama (untuk k=0,1,2,3,4) - 3, 5, 17, 257, 65537 - ternyata sederhana. Euler menemukan bahwa bilangan Fermat keenam 1 habis dibagi 641. Sejak zaman Euler, matematikawan dari berbagai negara telah tertarik pada bilangan Fermat. Secara khusus, hampir tepat seratus tahun yang lalu pada tahun 1878, pada pertemuan Akademi Ilmu Pengetahuan Petersburg, sebuah laporan oleh E.I. Zolotarev tentang karya yang dipresentasikan ke Akademi oleh pendeta Ion Pervushin. Dalam karya ini ditetapkan bahwa nomor tersebut Belakangan ini banyak bilangan Fermat yang dipelajari di komputer. Tidak ada bilangan prima yang dapat ditemukan di antara bilangan-bilangan tersebut, sehingga masih belum diketahui apakah bilangan prima Fermat ada selain lima bilangan prima pertama. Oleh karena itu, saya terpaksa merumuskan jawaban masalah tersebut dalam bentuk yang mungkin belum final: N-gon beraturan dapat dibuat dengan kompas dan penggaris jika dan hanya jika n=2kр1р2…рk, dengan р1 adalah bilangan Fermat berbeda berpasangan. Teorema Terakhir Fermat
Untuk sembarang bilangan asli n> 2 persamaan xn+yn=zn tidak mempunyai bilangan asli solusi x,y dan z. Untuk n = 3, teorema Fermat dibuktikan oleh L. Euler, untuk n = 5 oleh I. Dirichlet dan A. Legendre, untuk n = 7 - oleh G. Lame. Cukup membuktikan teorema Fermat untuk sembarang eksponen sederhana n = p> 2, yaitu cukup membuktikan bahwa persamaan tidak memiliki solusi dalam bilangan koprima bukan nol bilangan bulat x, y, z. kasus pertama ketika (xyz, p) = 1 dan kasus kedua adalah ketika p|z. Pembuktian kasus kedua teorema Fermat lebih rumit dan biasanya dilakukan dengan menggunakan metode keturunan tak hingga. Teorema Fermat dapat dirumuskan sebagai berikut: untuk sembarang bilangan asli n> 2 pada kurva Fermat xn + yn = 1 tidak ada titik rasional kecuali titik sepele (0, ±1), (±1,0). Titik-titik rasional pada kurva Fermat dipelajari dengan metode geometri aljabar. Metode-metode ini membuktikan bahwa jumlah titik rasional pada kurva Fermat bagaimanapun juga terbatas, yang mengikuti dugaan Mordell, dibuktikan oleh G. Faltings. Persamaan Fermat dipertimbangkan dalam bilangan aljabar, seluruh fungsi, matriks, dll. Ada generalisasi teorema Fermat untuk persamaan bentuk bukti teorema bilangan pertanian Teorema Fermat Ringan Bukti: Misalkan ada bilangan asli x, y, n, i sehingga n≥z dan xn+yn=zn. Sangat mudah untuk melihat bahwa x Q.E.D. Teorema Kecil Fermat
Untuk setiap bilangan prima p dan bilangan bulat a, ap-1 - 1 dibagi dengan p. Bukti: Perhatikan dua kasus: a dibagi p; a tidak habis dibagi p. ) a habis dibagi p; Kemudian menggunakan perbandingan<#"556025.files/image012.jpg"> Lampiran 2
Lampiran 3
Lampiran 4
Lampiran 5
Lampiran 6 Karya kreatif Olga Zagainova dan Natalia Zagainova. Ahli Matematika dan Iblis
Setelah berbulan-bulan bekerja keras meneliti naskah-naskah pudar yang tak terhitung jumlahnya, Simon Flagg berhasil memanggil iblis. Istri Simon, seorang ahli Abad Pertengahan, memberinya bantuan yang sangat berharga. Ia sendiri, sebagai seorang ahli matematika, tidak dapat menguraikan teks-teks Latin, terutama yang diperumit oleh istilah-istilah langka demonologi abad ke-10. Naluri Mrs. Flagg yang luar biasa berguna di sini. Setelah pertempuran awal, Simon dan iblis duduk di meja untuk negosiasi serius. Pengunjung dari neraka itu cemberut, ketika Simon dengan hina menolak tawarannya yang paling menggiurkan, dengan mudah mengenali bahaya mematikan yang tersembunyi di setiap umpan yang menggoda. - Bagaimana jika sekarang, sebagai gantinya, Anda mendengarkan lamaran saya? - Simon akhirnya berkata. - Bagaimanapun, tidak ada trik. Iblis dengan kesal memutar ujung ekornya yang bercabang, seolah-olah itu adalah rantai biasa dengan kunci. Jelas dia tersinggung. “Kalau begitu,” dia menyetujui dengan marah. - Tidak ada salahnya dari ini. Silakan, Tuan Simon! “Saya akan menanyakan satu pertanyaan saja,” Simon memulai, dan iblis menjadi gembira. - Anda harus menjawabnya dalam waktu dua puluh empat jam. Jika Anda gagal, Anda membayar saya seratus ribu dolar. Ini adalah persyaratan sederhana - Anda terbiasa dengan tuntutan yang jauh lebih besar. Tidak ada miliaran, tidak ada Helen dari Troy yang berkulit harimau. Tentu saja, jika saya menang, Anda tidak perlu membalas dendam. - Coba pikirkan! - iblis mendengus. - Apa taruhanmu? - Jika aku kalah, aku akan menjadi budakmu untuk waktu yang singkat. Tetapi tanpa siksaan apa pun, kematian jiwa dan sejenisnya, itu akan menjadi banyak untuk hal sepele seperti seratus ribu dolar. Saya tidak ingin menyakiti saudara atau teman saya. Namun,” tambahnya setelah berpikir, “mungkin ada pengecualian.” Iblis mengerutkan kening, menarik ujung ekornya dengan marah. Akhirnya, dia menariknya sekuat tenaga hingga dia meringis kesakitan, dan dengan tegas menyatakan: Sayang sekali, tapi saya hanya berurusan dengan jiwa. Saya sudah memiliki cukup banyak budak. Jika Anda tahu berapa banyak layanan gratis dan tulus yang diberikan orang kepada saya, Anda akan kagum. Namun, inilah yang akan saya lakukan. Jika saya tidak dapat menjawab pertanyaan Anda pada waktu yang ditentukan, Anda tidak akan menerima ratusan ribu dolar, tetapi jumlah berapa pun - tentu saja, tidak terlalu liar - jumlahnya. Selain itu, saya menawarkan kesehatan dan kebahagiaan selama sisa hidup Anda. Jika saya menjawab pertanyaan Anda, Anda tahu konsekuensinya. Hanya itu yang bisa saya tawarkan kepada Anda. Dia mengambil cerutu yang menyala dari udara dan menghisapnya. Keheningan merajalela. Simon melihat ke depan, tidak melihat apa pun. Tetesan keringat muncul di dahinya. Dia tahu betul kondisi apa yang bisa ditetapkan iblis. Otot-otot wajahnya menegang... Tidak, dia siap mempertaruhkan jiwanya bahwa tidak ada seorang pun - baik manusia, binatang, atau iblis - yang akan menjawab pertanyaannya dalam waktu 24 jam. - Sertakan istri saya dalam klausa tentang kesehatan dan kebahagiaan - dan dapatkan kesepakatan! - katanya. - Ayo tanda tangan. Iblis mengangguk. Dia mengeluarkan puntung rokok dari mulutnya, memandangnya dengan jijik dan menyentuhnya dengan jari cakar. Puntung rokok langsung berubah menjadi tablet mint merah muda, yang mulai dihisap iblis dengan keras dan dengan kenikmatan yang nyata. “Adapun pertanyaan Anda,” lanjutnya, “pasti ada jawabannya, jika tidak, perjanjian kita tidak sah.” Pada Abad Pertengahan, orang menyukai teka-teki. Orang sering datang kepada saya dengan paradoks. Misalnya: di desa hanya tinggal seorang tukang cukur yang mencukur setiap orang yang tidak mencukur dirinya sendiri. Siapa yang mencukur tukang cukur? - mereka bertanya. Namun, seperti dicatat Russell, kata “semua” membuat pertanyaan seperti itu menjadi tidak ada artinya, dan tidak ada jawaban untuk pertanyaan tersebut. “Pertanyaan saya jujur dan tidak mengandung paradoks,” Simon meyakinkannya. - Besar. Saya akan menjawabnya. Kenapa kamu nyengir? "Aku... tidak ada apa-apa," jawab Simon, menghilangkan seringai di wajahnya. “Kamu mempunyai saraf yang kuat,” kata iblis dengan nada muram namun menyetujui, sambil mengeluarkan perkamen dari udara. “Jika aku muncul di hadapanmu dalam wujud monster yang menggabungkan kelucuan gorilamu dengan keanggunan monster yang hidup di Venus, kamu tidak akan bisa mempertahankan rasa percaya dirimu, dan aku yakin…” “Tidak perlu untuk itu. itu,” kata Simon buru-buru. Dia mengambil kontrak yang diserahkan kepadanya, memastikan semuanya beres, dan membuka pisau sakunya. - Tunggu sebentar! - iblis menghentikannya. - Biarkan aku mendisinfeksinya. “Dia mengangkat pedang ke bibirnya, meniupnya pelan, dan baja itu bersinar merah ceri. - Ini dia! Sekarang sentuhkan ujung pisau... um... ke tinta, dan itu saja... Tolong, baris kedua dari bawah, yang terakhir adalah milikku. Simon berhenti sejenak, sambil merenung ke arah ujung pisau yang panas. Daftar,” iblis bergegas, dan Simon, sambil menegakkan bahunya, menandatangani namanya. Setelah menandatangani namanya dengan gaya yang megah, iblis menggosok tangannya, memandang Simon dengan tatapan posesif secara terbuka dan dengan riang berkata: “Baiklah, jelaskan pertanyaanmu!” Segera setelah saya menjawabnya, kami akan pergi. Saya punya satu klien lagi yang harus saya kunjungi hari ini dan saya kehabisan waktu. "Oke," kata Simon dan menarik napas dalam-dalam. - Pertanyaan saya adalah: apakah teorema terakhir Fermat benar atau salah? Iblis menelan ludahnya. Untuk pertama kalinya, rasa percaya dirinya goyah. - Hebat - siapa? Apa? - dia bertanya dengan suara membosankan. - Teorema Terakhir Fermat. Ini adalah proposisi matematis yang dibuktikan oleh Fermat, seorang matematikawan Perancis abad ketujuh belas. Namun pembuktiannya tidak tertulis, dan hingga saat ini belum ada yang mengetahui apakah teorema tersebut benar atau tidak. - Saat Simon melihat wajah iblis, bibirnya bergetar. - Baiklah, silakan sibuk! - Matematika! - seru si berekor ngeri. - Apakah menurutmu aku punya waktu untuk mempelajari hal-hal seperti itu? Saya mengambil trivium dan quadrivium “Saya bisa mengatasinya, saya telah melakukan hal-hal yang lebih sulit, Tuan Simon yang terkasih,” kata iblis, “suatu kali saya terbang ke bintang yang jauh dan membawa kembali satu liter neutronium tepat dalam waktu 16... "Aku tahu," Simon memotongnya. - Kamu ahli dalam trik seperti itu. - Trik macam apa yang ada di sana! - iblis bergumam dengan marah. - Ada kesulitan teknis yang sangat besar. Namun tidak perlu mengungkit masa lalu. Aku akan pergi ke perpustakaan, dan besok jam segini... "Tidak," Simon memotongnya dengan kasar. - Kami menandatangani setengah jam yang lalu. Kembali hanya dalam dua puluh tiga setengah jam. “Aku tidak akan membuatmu terburu-buru,” tambahnya ironis ketika iblis melihat arlojinya dengan waspada. - Minumlah segelas anggur dan sebelum kamu pergi, temui istriku. “Aku tidak pernah minum minuman keras di tempat kerja, dan aku tidak punya waktu untuk mengenal istrimu… setidaknya tidak sekarang.” Dia menghilang. Pada saat yang sama istri Simon masuk. - Aku mendengarkan di pintu lagi! Simon menegurnya dengan lembut. “Tentu saja,” katanya dengan suara tercekat. “Dan aku ingin tahu sayang, apakah pertanyaan ini benar-benar sulit.” Karena kalau bukan... Simon, aku benar-benar ketakutan! “Tenanglah, pertanyaannya sulit,” jawab Simon acuh tak acuh. - Tidak semua orang langsung memahami hal ini. Soalnya,” lanjutnya dengan nada dosen, “setiap orang bisa dengan mudah menemukan dua bilangan bulat yang kuadratnya juga sama dengan kuadrat. Misalnya, 32 + 42 = 52, yaitu 9 + 16 = 25. Mengerti? - Ya! Dia meluruskan dasi suaminya. - Tapi belum ada yang bisa menemukan dua kubus yang, jika dijumlahkan, juga akan menghasilkan kubus, atau pangkat lebih tinggi yang akan menghasilkan hasil serupa - tampaknya keduanya tidak ada. Namun,” ia menyimpulkan dengan penuh kemenangan, “belum terbukti bahwa angka-angka tersebut tidak ada!” Apakah kamu mengerti sekarang? - Tentu. - Istri Simon selalu memahami konsep matematika tercanggih. Dan jika ada sesuatu yang di luar pemahamannya, suaminya dengan sabar menjelaskan semuanya kepadanya beberapa kali. Hal ini menyisakan sedikit waktu bagi Ny. Flagg untuk melakukan hal lain. “Aku akan membuatkan kopi,” katanya lalu pergi. Empat jam kemudian, ketika mereka duduk mendengarkan Simfoni Ketiga Brahms, iblis muncul lagi. - Saya telah mempelajari dasar-dasar aljabar, trigonometri, dan planimetri! - dia mengumumkan dengan penuh kemenangan. - Kamu bekerja dengan cepat! - Simon memujinya. - Saya yakin geometri bola, analitis, proyektif, deskriptif, dan non-Euclidean tidak akan menimbulkan kesulitan bagi Anda. Iblis meringis. - Apakah jumlahnya banyak? - dia bertanya dengan suara jatuh. - Oh, bukan itu saja. - Simon sepertinya punya kabar baik. “Kamu akan menyukai yang non-Euclidean,” dia terkekeh. - Untuk melakukan ini, Anda tidak perlu memahami gambarnya. Gambar-gambar itu tidak akan mengatakan apa-apa. Dan karena kamu berselisih dengan Euclid... Iblis mengerang, memudar seperti film lama, dan menghilang. Istri Simon terkikik. “Sayangku,” dia bernyanyi, “Aku mulai berpikir bahwa kamu akan menang!” - Ssst! Bagian terakhir! Sangat menyenangkan! Enam jam kemudian, sesuatu muncul, ruangan itu dipenuhi asap, dan setan kembali berada di sana. Dia memiliki kantung di bawah matanya. Simon Flagg menghapus seringai di wajahnya. “Saya melewati semua geometri ini,” kata iblis dengan kepuasan yang muram. - Sekarang akan lebih mudah. Saya pikir saya siap untuk memecahkan teka-teki kecil Anda. Simon menggelengkan kepalanya. - Kamu terlalu terburu-buru. Tampaknya Anda belum memperhatikan metode fundamental seperti analisis yang sangat kecil, persamaan diferensial, dan kalkulus beda hingga. Lalu ada juga... - Apakah semua ini benar-benar diperlukan? - iblis menghela nafas. Dia duduk dan mulai menggosok kelopak matanya yang bengkak dengan tinjunya. Pria malang itu tidak bisa berhenti menguap. “Sepertinya aku tidak bisa mengatakannya,” jawab Simon dengan suara acuh tak acuh. - Tetapi orang-orang, yang mengerjakan “teka-teki kecil” ini, telah mencoba semua cabang matematika, dan masalahnya belum terpecahkan. Saya akan menyarankan... Tapi iblis sedang tidak mood untuk mendengarkan nasihat Simon. Kali ini dia menghilang bahkan tanpa bangkit dari kursinya. Dan dia melakukannya dengan agak kikuk. “Saya rasa dia lelah,” kata Ny. Flagg. - Setan yang malang! Namun, sulit mendeteksi simpati dalam nada bicaranya. “Aku juga lelah,” jawab Simon. - Ayo tidur. Saya tidak berpikir dia akan muncul sampai besok. “Mungkin,” sang istri menyetujui. - Tapi untuk berjaga-jaga, aku akan memakai kemeja dengan renda hitam. Keesokan paginya tiba. Sekarang pasangan tersebut menganggap musik Bach lebih cocok. Jadi mereka memutar rekaman dengan Wanda Landowska. “Sepuluh menit lagi, dan jika dia tidak kembali dengan mengambil keputusan, kita menang,” kata Simon. - Aku memberinya pujian. Dia dapat menyelesaikan kursus dalam satu hari, dengan pujian, dan menerima gelar Ph.D. Namun... Terdengar suara mendesis. Menyebarkan bau belerang, awan merah berbentuk jamur muncul. Iblis berdiri di atas permadani di depan pasangan itu dan bernapas dengan berisik, mengeluarkan awan uap. Bahunya merosot. Matanya merah. Cakarnya, yang masih memegangi tumpukan lembaran coretan, terasa bergetar. Sarafnya mungkin gelisah. Diam-diam, dia melemparkan setumpuk kertas ke lantai dan mulai menginjak-injaknya dengan kuku kakinya yang terbelah. Akhirnya, setelah menghabiskan seluruh energinya, iblis menjadi tenang, dan senyuman pahit muncul di mulutnya. "Kamu menang, Simon," bisik iblis sambil memandang ahli matematika itu dengan rasa hormat yang baik. - Bahkan saya tidak dapat belajar matematika dengan cukup dalam waktu sesingkat ini untuk mengatasi tugas yang sulit tersebut. Semakin saya menyelidikinya, semakin buruk keadaannya. Faktorisasi non-unik, bilangan ideal - oh Baal!.. Anda tahu,” katanya rahasia, “bahkan ahli matematika terbaik di planet lain - dan mereka telah menjauh dari Anda - belum mencapai solusi. Eh, seseorang di Saturnus - dia terlihat seperti jamur panggung - memecahkan persamaan diferensial parsial di kepalanya. Tapi kemudian dia juga menyerah,” desah iblis. Jaga kesehatan. Iblis menghilang dengan sangat lambat. Rupanya dia cukup lelah. 
dibagi 167722161 = 5225+1.
