I. Iloczyn potęg o tych samych podstawach.
Iloczyn dwóch potęg o tych samych podstawach można zawsze przedstawić jako potęgę o podstawie x.
Z definicji potęga x 7 jest iloczynem siedmiu czynników, z których każdy jest równy x, a x 9 jest iloczynem dziewięciu tych samych czynników. Dlatego x 7 x 9 jest równe iloczynowi 7 + 9 czynników. Każdy z nich jest równy x, tj
x 7 x 9 = x 7+9 = x 16
Okazuje się, że jeśli podstawą stopnia a jest liczba dowolna, a m i n są dowolnymi liczbami naturalnymi, to równość jest prawdziwa:
za m · za n = za m + n
Równość ta wyraża jedną z właściwości stopnia.
Iloczyn dwóch potęg o tej samej podstawie jest równy potęgi o tej samej podstawie i wykładnikowi równemu sumie wykładników tych potęg.
Właściwość ta występuje również w przypadkach, gdy liczba czynników jest większa niż dwa.
Na przykład w przypadku trzech czynników mamy:
za m · za n · za k = (za m · za n)a k = za m+n · za k = za m+n+k
Podczas wykonywania przekształceń wygodnie jest zastosować regułę: przy mnożeniu potęg o tych samych podstawach podstawy pozostają takie same, a wykładniki są dodawane.
Spójrzmy na przykłady.
Przykład 1.
x 6 x 5 = x 6+5 = x 11
Przykład 2.
za 7 za -8 = za -1
Przykład 3.
6 1,7 6 - 0,9 = 6 1,7+(- 0,9) = 6 1,7 - 0,9 = 6 0,8
II. Częściowe stopni o tych samych podstawach.
Iloraz dwóch potęg o tych samych wykładnikach można zawsze przedstawić jako potęgę o tej samej podstawie.
Spójrzmy na przykłady.
Przykład 1. Iloraz x 17: x 5 można przedstawić jako potęgę o podstawie x:
x 17: x 5 = x 12,
ponieważ z definicji ilorazu i na podstawie własności stopnia x 5 · x 12 = x 17. Wykładnik ilorazu (liczba 12) jest równy różnicy między wykładnikami dywidendy a dzielnikiem (17 – 5):
x 17: x 5 = x 17-5
Przykład 2.
8 16: 8 12 = 8 16-12 = 8 4
Przykład 3.
a -8: a 6 = a -8-6 = a -14
Przykład 4.
b 5: b -4 = b 5-(-4) = b 9
Przykład 5.
9 1.5: 9 - 0.5 = 9 1.5 - (- 0.5) = 9 1.5 + 0.5 = 9 2
Podczas wykonywania przekształceń wygodnie jest zastosować zasadę: dzieląc potęgi o tych samych podstawach, podstawy pozostają takie same, a wykładnik dzielnika odejmuje się od wykładnika dzielnej.
Przykład 6.
za 4: za 4 = za 4-4 = za 0
Wartość wyrażenia a 0 dla dowolnego a ≠ 0 jest równa 1.
III. Podnoszenie stopnia do stopnia.
Niech siódmą potęgę wyrażenia a 2 przedstawimy jako potęgę o podstawie a.
Z definicji potęga (a 2) 7 jest iloczynem siedmiu czynników, z których każdy jest równy 2, czyli
(za 2) 7 = za 2 · za 2 · za 2 × za 2 · za 2 · za 2 · za 2 .
Stosując własność mocy, otrzymujemy:
za 2 · za 2 · za 2 · za 2 · za 2 · za 2 · za 2 = za 2+2+2+2+2+2+2 = za 2,7 .
Okazuje się, że (a 2) 7 = a 2 7 = a 14.
Przy podnoszeniu potęgi do potęgi podstawa pozostaje taka sama, a wykładniki są mnożone:
(a m) n = za mn .
Spójrzmy na przykłady.
Przykład 1.
(4 3) 4 = 4 3 4 = 4 12
Przykład 2.
((-2) 2) 5 = (-2) 10 = 1024
blog.site, przy kopiowaniu materiału w całości lub w części wymagany jest link do oryginalnego źródła.
Po ustaleniu potęgi liczby logiczne jest porozmawianie o tym właściwości stopnia. W tym artykule podamy podstawowe właściwości potęgi liczby, dotykając wszystkich możliwych wykładników. Tutaj przedstawimy dowody wszystkich właściwości stopni, a także pokażemy, jak te właściwości są wykorzystywane przy rozwiązywaniu przykładów.
Nawigacja strony.
Własności stopni z wykładnikami naturalnymi
Z definicji potęgi o wykładniku naturalnym potęga a n jest iloczynem n czynników, z których każdy jest równy a. W oparciu o tę definicję, a także za pomocą własności mnożenia liczb rzeczywistych, możemy uzyskać i uzasadnić, co następuje własności stopnia z wykładnikiem naturalnym:
- główna właściwość stopnia a m ·a n =a m+n, jej uogólnienie;
- własność ilorazu potęg o jednakowych podstawach a m:a n =a m−n ;
- iloczyn mocy (a·b) n =a n ·b n , jego rozszerzenie;
- właściwość ilorazu stopnia naturalnego (a:b) n =a n:b n ;
- podniesienie stopnia do potęgi (a m) n =a m·n, jego uogólnienie (((a n 1) n 2) …) n k =a n 1 ·n 2 ·…·n k;
- porównanie stopnia z zerem:
- jeśli a>0, to a n>0 dla dowolnej liczby naturalnej n;
- jeśli a=0, to n=0;
- Jeśli<0 и показатель степени является четным числом 2·m , то a 2·m >0 jeśli<0 и показатель степени есть нечетное число 2·m−1 , то a 2·m−1 <0 ;
- jeśli a i b są liczbami dodatnimi oraz a
- jeśli m i n są liczbami naturalnymi, takimi jak m>n, to przy 0
- jeśli m i n są liczbami naturalnymi, takimi jak m>n, to przy 0
Zauważmy od razu, że wszystkie zapisane równości są identyczny pod warunkiem spełnienia określonych warunków, możliwa jest zamiana ich prawej i lewej części. Na przykład główna właściwość ułamka a m ·a n =a m+n z upraszczanie wyrażeń często używane w formie a m+n =a m ·a n .
Przyjrzyjmy się teraz szczegółowo każdemu z nich.
Zacznijmy od własności iloczynu dwóch potęg o tych samych podstawach, która nazywa się główna właściwość stopnia: dla dowolnej liczby rzeczywistej a oraz dowolnych liczb naturalnych m i n, prawdziwa jest równość a m ·a n =a m+n.
Udowodnimy główną właściwość stopnia. Z definicji potęgi o wykładniku naturalnym iloczyn potęg o tych samych podstawach postaci a m·a n można zapisać jako iloczyn. Ze względu na właściwości mnożenia powstałe wyrażenie można zapisać jako 
, a ten iloczyn jest potęgą liczby a z wykładnikiem naturalnym m+n, czyli a m+n. To kończy dowód.
Podajmy przykład potwierdzający główną właściwość stopnia. Weźmy stopnie o tych samych podstawach 2 i potęgach naturalnych 2 i 3, korzystając z podstawowej właściwości stopni, możemy zapisać równość 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5. Sprawdźmy jego ważność, obliczając wartości wyrażeń 2 2 · 2 3 i 2 5 . Wykonujemy potęgowanie, mamy 2 2 ·2 3 =(2,2)·(2,2,2)=4,8=32 i 2 5 =2·2·2·2·2=32, ponieważ uzyskuje się równe wartości, to równość 2 2 ·2 3 =2 5 jest poprawna i potwierdza główną właściwość stopnia.
Podstawową właściwość stopnia, opartą na właściwościach mnożenia, można uogólnić na iloczyn trzech lub więcej potęg o tych samych podstawach i wykładnikach naturalnych. Zatem dla dowolnej liczby k liczb naturalnych n 1, n 2, …, n k prawdziwa jest równość: za n 1 ·a n 2 ·…·a n k =za n 1 +n 2 +…+n k.
Na przykład, (2,1) 3 ·(2,1) 3 ·(2,1) 4 ·(2,1) 7 = (2,1) 3+3+4+7 =(2,1) 17 .
Możemy przejść do kolejnej własności potęg z wykładnikiem naturalnym – własność ilorazu potęg o tych samych podstawach: dla dowolnej niezerowej liczby rzeczywistej a oraz dowolnych liczb naturalnych m i n spełniających warunek m>n, prawdziwa jest równość a m:a n =a m−n.
Zanim przedstawimy dowód tej własności, omówmy znaczenie dodatkowych warunków w sformułowaniu. Warunek a≠0 jest konieczny, aby uniknąć dzielenia przez zero, gdyż 0 n =0, a kiedy zapoznaliśmy się z dzieleniem, zgodziliśmy się, że nie można dzielić przez zero. Warunek m>n zostaje wprowadzony, abyśmy nie wykraczali poza wykładniki naturalne. Rzeczywiście, dla m>n wykładnik a m−n jest liczbą naturalną, w przeciwnym razie będzie to albo zero (co dzieje się dla m−n ), albo liczba ujemna (co zdarza się dla m Dowód. Główna właściwość ułamka pozwala nam zapisać równość a m−n ·a n =a (m−n)+n =a m. Z otrzymanej równości a m−n ·a n =a m i wynika, że a m−n jest ilorazem potęg a m i an . Dowodzi to własności ilorazów o identycznych podstawach. Podajmy przykład. Weźmy dwa stopnie o tych samych podstawach π i wykładnikach naturalnych 5 i 2, równość π 5:π 2 =π 5−3 =π 3 odpowiada rozważanej właściwości stopnia. Teraz rozważmy właściwość mocy produktu: naturalna potęga n iloczynu dowolnych dwóch liczb rzeczywistych a i b jest równa iloczynowi potęg a n i b n , czyli (a·b) n =a n ·b n . Rzeczywiście, z definicji stopnia z naturalnym wykładnikiem mamy Oto przykład: Właściwość ta rozciąga się na potęgę iloczynu trzech lub więcej czynników. Oznacza to, że właściwość stopnia naturalnego n iloczynu k czynników jest zapisana jako (a 1 ·a 2 ·…·a k) n =a 1 n ·a 2 n ·…·ak k n. Dla przejrzystości pokażemy tę właściwość na przykładzie. Dla iloczynu trzech czynników do potęgi 7 mamy . Następna właściwość to właściwość ilorazu w naturze: iloraz liczb rzeczywistych aib, b≠0 do potęgi naturalnej n jest równy ilorazowi potęg a n i b n, czyli (a:b) n =a n:b n. Dowód można przeprowadzić wykorzystując poprzednią własność. Więc (a:b) n b n =((a:b) b) n =a n, a z równości (a:b) n ·b n =a n wynika, że (a:b) n jest ilorazem a n podzielonym przez b n . Zapiszmy tę właściwość na przykładzie konkretnych liczb: Teraz zabierzmy głos właściwość podnoszenia potęgi do potęgi: dla dowolnej liczby rzeczywistej a oraz dowolnych liczb naturalnych m i n potęga a m do potęgi n jest równa potędze liczby a z wykładnikiem m·n, czyli (a m) n =a m·n. Na przykład (5 2) 3 =5 2.3 =5 6. Dowodem własności potęgi do stopnia jest następujący ciąg równości: Rozważaną właściwość można rozszerzyć o stopień na stopień na stopień itp. Na przykład dla dowolnych liczb naturalnych p, q, r i s równość Pozostaje zastanowić się nad właściwościami porównywania stopni z naturalnym wykładnikiem. Zacznijmy od udowodnienia właściwości porównywania zera i potęgi z wykładnikiem naturalnym. Najpierw udowodnijmy, że a n > 0 dla dowolnego a > 0. Iloczyn dwóch liczb dodatnich jest liczbą dodatnią, jak wynika z definicji mnożenia. Fakt ten oraz właściwości mnożenia sugerują, że wynik mnożenia dowolnej liczby liczb dodatnich również będzie liczbą dodatnią. A potęga liczby a z wykładnikiem naturalnym n jest z definicji iloczynem n czynników, z których każdy jest równy a. Argumenty te pozwalają nam stwierdzić, że dla dowolnej podstawy dodatniej a stopień a n jest liczbą dodatnią. Ze względu na sprawdzoną właściwość 3 5 >0, (0.00201) 2 >0 i Jest całkiem oczywiste, że dla dowolnej liczby naturalnej n z a=0 stopień n wynosi zero. Rzeczywiście, 0 n =0·0·…·0=0 . Na przykład 0 3 =0 i 0 762 =0. Przejdźmy do ujemnych podstaw stopnia. Zacznijmy od przypadku, gdy wykładnik jest liczbą parzystą, oznaczmy go jako 2·m, gdzie m jest liczbą naturalną. Następnie Wreszcie, gdy podstawa a jest liczbą ujemną, a wykładnik jest liczbą nieparzystą, to 2 m−1 Przejdźmy do własności porównywania potęg o tych samych wykładnikach naturalnych, która ma następujące sformułowanie: z dwóch potęg o takich samych wykładnikach naturalnych n jest mniejsze od tej, której podstawa jest mniejsza, a większe to ta, której podstawa jest większa . Udowodnijmy to. Nierówność n własności nierówności możliwa do udowodnienia nierówność postaci a n jest również prawdziwa (2.2) 7 i Pozostaje udowodnić ostatnią z wymienionych własności potęg o wykładnikach naturalnych. Sformułujmy to. Z dwóch potęg o wykładnikach naturalnych i identycznych podstawach dodatnich mniejszych niż jeden, większa jest ta, której wykładnik jest mniejszy; a z dwóch potęg o wykładnikach naturalnych i identycznych podstawach większych niż jeden, większa jest ta, której wykładnik jest większy. Przejdźmy do dowodu tej własności. Udowodnimy to dla m>n i 0 Pozostaje udowodnić drugą część własności. Udowodnimy, że dla m>n i a>1 a m >a n jest prawdziwe. Różnica a m −a n po usunięciu n z nawiasów przyjmuje postać a n·(a m−n −1) . Iloczyn ten jest dodatni, gdyż dla a>1 stopień a n jest liczbą dodatnią, a różnica a m−n −1 jest liczbą dodatnią, gdyż m−n>0 wynika z warunku początkowego, a dla a>1 stopień a m-n jest większe niż jeden. W konsekwencji a m −a n >0 i a m >a n , co należało udowodnić. Własność tę ilustruje nierówność 3 7 >3 2.
. W oparciu o właściwości mnożenia ostatni iloczyn można przepisać jako 
, co jest równe a n · b n .
.
.
.
. Dla większej przejrzystości oto przykład z konkretnymi liczbami: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10
.
.
. Dla każdego z iloczynów postaci a·a jest równy iloczynowi modułów liczb a i a, czyli jest liczbą dodatnią. Dlatego produkt będzie również pozytywny 
i stopień a 2·m. Podajmy przykłady: (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 i .
. Wszystkie iloczyny a·a są liczbami dodatnimi, iloczyn tych liczb dodatnich jest również dodatni, a jego pomnożenie przez pozostałą liczbę ujemną a daje liczbę ujemną. Ze względu na tę właściwość (-5) 3<0
, (−0,003) 17 <0
и 
.
.
Własności potęg o wykładnikach całkowitych
Ponieważ dodatnie liczby całkowite są liczbami naturalnymi, to wszystkie właściwości potęg o dodatnich wykładnikach całkowitych pokrywają się dokładnie z właściwościami potęg o wykładnikach naturalnych, wymienionymi i udowodnionymi w poprzednim akapicie.
Zdefiniowaliśmy stopień z wykładnikiem całkowitym ujemnym oraz stopień z wykładnikiem zerowym w taki sposób, aby wszystkie własności stopni z wykładnikami naturalnymi wyrażone równościami pozostały aktualne. Dlatego wszystkie te właściwości obowiązują zarówno dla wykładników zerowych, jak i wykładników ujemnych, choć oczywiście podstawy potęg są różne od zera.
Zatem dla dowolnych liczb rzeczywistych i niezerowych aib, a także dowolnych liczb całkowitych m i n, spełnione są następujące warunki: własności potęg o wykładnikach całkowitych:
- za m · za n = a m+n ;
- za m:a n =a m−n ;
- (a·b) n =a n ·b n ;
- (a:b) n =a n:b n ;
- (a m) n =a m·n ;
- jeśli n jest dodatnią liczbą całkowitą, aib są liczbami dodatnimi, oraz a b-n;
- jeśli m i n są liczbami całkowitymi i m>n, to przy 0
Gdy a=0, potęgi am i an mają sens tylko wtedy, gdy zarówno m, jak i n są dodatnimi liczbami całkowitymi, to znaczy liczbami naturalnymi. Zatem zapisane właśnie właściwości obowiązują również w przypadkach, gdy a = 0, a liczby m i n są dodatnimi liczbami całkowitymi.
Udowodnienie każdej z tych własności nie jest trudne, wystarczy w tym celu posłużyć się definicjami stopni o wykładnikach naturalnych i całkowitych oraz własnościami operacji na liczbach rzeczywistych. Jako przykład udowodnijmy, że właściwość potęgi do potęgi obowiązuje zarówno dla dodatnich, jak i niedodatnich liczb całkowitych. Aby to zrobić, trzeba pokazać, że jeśli p wynosi zero lub liczbę naturalną, a q wynosi zero lub liczbę naturalną, to równości (a p) q =a p·q, (a −p) q =a (−p) ·q, (a p ) −q =a p·(−q) i (a −p) −q =a (−p)·(−q). Zróbmy to.
Dla dodatnich p i q w poprzednim akapicie udowodniono równość (a p) q =a p·q. Jeśli p=0, to mamy (a 0) q =1 q =1 i a 0·q =a 0 =1, skąd (a 0) q =a 0·q. Podobnie, jeśli q=0, to (a p) 0 =1 i a p·0 =a 0 =1, skąd (a p) 0 =a p·0. Jeśli zarówno p=0, jak i q=0, to (a 0) 0 =1 0 =1 i a 0,0 =a 0 =1, skąd (a 0) 0 =a 0,0.
Teraz udowodnimy, że (a −p) q =a (−p)·q . Zatem z definicji potęgi o wykładniku ujemnym będącym liczbą całkowitą 
. Z własności ilorazów potęg, które mamy 
. Ponieważ 1 p =1·1·…·1=1 i , to . Ostatnie wyrażenie z definicji jest potęgą postaci a −(p·q), którą ze względu na zasady mnożenia można zapisać jako a (−p)·q.
Podobnie 
.
I 
.
Stosując tę samą zasadę, możesz udowodnić wszystkie inne właściwości stopnia z wykładnikiem całkowitym, zapisanym w postaci równości.
W przedostatniej z zarejestrowanych własności warto zatrzymać się na dowodzie nierówności a −n >b −n, który obowiązuje dla dowolnej ujemnej liczby całkowitej −n oraz dowolnych dodatnich a i b, dla których warunek a jest spełniony . Ponieważ według warunku a 0. Iloczyn a n · b n jest również dodatni jako iloczyn liczb dodatnich a n i b n . Wtedy powstały ułamek jest dodatni jako iloraz liczb dodatnich b n −a n i a n ·b n . Zatem skąd a −n >b −n , co należało udowodnić.
Ostatnią własność potęg o wykładnikach całkowitych udowadnia się w taki sam sposób, jak podobną własność potęg o wykładnikach naturalnych.
Własności potęg o wykładnikach wymiernych
Zdefiniowaliśmy stopień z wykładnikiem ułamkowym, rozszerzając na niego właściwości stopnia z wykładnikiem całkowitym. Innymi słowy, potęgi o wykładnikach ułamkowych mają takie same właściwości jak potęgi o wykładnikach całkowitych. Mianowicie:
Dowód własności stopni z wykładnikami ułamkowymi opiera się na definicji stopnia z wykładnikiem ułamkowym oraz na własnościach stopnia z wykładnikiem całkowitym. Przedstawmy dowody.
Z definicji potęgi z wykładnikiem ułamkowym i , a następnie 
. Właściwości pierwiastka arytmetycznego pozwalają nam zapisać następujące równości. Ponadto, korzystając z właściwości stopnia z wykładnikiem całkowitym, otrzymujemy , z którego, zgodnie z definicją stopnia z wykładnikiem ułamkowym, mamy 
, a wskaźnik uzyskanego stopnia można przekształcić w następujący sposób: . To kończy dowód.
Drugą własność potęg o wykładnikach ułamkowych udowadnia się w zupełnie podobny sposób: 
Pozostałe równości dowodzi się stosując podobne zasady: 
Przejdźmy do udowodnienia kolejnej własności. Udowodnijmy, że dla dowolnego dodatniego a i b, a b s. Zapiszmy liczbę wymierną p jako m/n, gdzie m jest liczbą całkowitą, a n jest liczbą naturalną. Warunki str. 1<0 и p>0 w tym przypadku warunki m<0 и m>Odpowiednio 0. Dla m>0 i a
Podobnie dla m<0 имеем a m >b m , to znaczy skąd i a p >b p .
Pozostaje udowodnić ostatnią z wymienionych właściwości. Udowodnijmy, że dla liczb wymiernych p i q, p>q przy 0 
I 
. A definicja stopnia z racjonalnym wykładnikiem pozwala nam przejść do nierówności i odpowiednio. Stąd wyciągamy ostateczny wniosek: dla p>q i 0
Własności potęg o wykładnikach niewymiernych
Ze sposobu, w jaki definiuje się stopień z wykładnikiem niewymiernym, możemy wywnioskować, że ma on wszystkie właściwości stopni z wykładnikami wymiernymi. Zatem dla dowolnych a>0, b>0 i liczb niewymiernych p i q prawdziwe są następujące stwierdzenia własności potęg o wykładnikach niewymiernych:
- a p ·a q =a p+q ;
- a p:a q =a p-q ;
- (a·b) p =a p ·b p ;
- (a:b) p =a p:b p ;
- (a p) q =a p·q ;
- dla dowolnych liczb dodatnich aib, a 0 nierówność a p bp;
- dla liczb niewymiernych p i q, p>q przy 0
Z tego możemy wywnioskować, że potęgi z dowolnymi wykładnikami rzeczywistymi p i q dla a>0 mają te same właściwości.
Bibliografia.
- Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Podręcznik do matematyki dla klasy V. instytucje edukacyjne.
- Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: podręcznik dla klasy 7. instytucje edukacyjne.
- Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: podręcznik dla klasy 8. instytucje edukacyjne.
- Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: podręcznik dla klasy 9. instytucje edukacyjne.
- Kołmogorow A.N., Abramow A.M., Dudnitsyn Yu.P. i inne Algebra i początki analizy: Podręcznik dla klas 10 - 11 szkół ogólnokształcących.
- Gusiew V.A., Mordkovich A.G. Matematyka (podręcznik dla rozpoczynających naukę w technikach).
Przypominamy, że na tej lekcji zrozumiemy właściwości stopni z naturalnymi wskaźnikami i zerem. Potęgi o wykładnikach wymiernych i ich własności będą omawiane na lekcjach dla klasy 8.
Potęga z wykładnikiem naturalnym ma kilka ważnych właściwości, które pozwalają nam uprościć obliczenia na przykładach z potęgami.
Nieruchomość nr 1
Produkt mocy
Pamiętać!
Przy mnożeniu potęg o tych samych podstawach podstawa pozostaje niezmieniona, a wykładniki potęg są dodawane.
a m · a n = a m + n, gdzie „a” to dowolna liczba, a „m”, „n” to dowolne liczby naturalne.
Ta właściwość potęg ma zastosowanie również do iloczynu trzech lub więcej potęg.
- Uprość wyrażenie.
b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15 - Przedstaw to jako dyplom.
6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17 - Przedstaw to jako dyplom.
(0,8) 3 · (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15
Ważny!
Należy pamiętać, że we wskazanej własności mówiliśmy jedynie o mnożeniu potęg na tej samej podstawie . Nie dotyczy to ich dodawania.
Nie można zastąpić sumy (3 3 + 3 2) liczbą 3 5. Jest to zrozumiałe, jeśli
oblicz (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 i 3 5 = 243
Nieruchomość nr 2
Częściowe stopnie
Pamiętać!
Przy dzieleniu potęg o tych samych podstawach podstawa pozostaje niezmieniona, a wykładnik dzielnika odejmuje się od wykładnika dzielnej.
= 11 3 - 2 4 2 - 1 = 11 4 = 443 8: t = 3 4
T = 3 8 - 4
Odpowiedź: t = 3 4 = 81Korzystając z właściwości nr 1 i nr 2, można łatwo upraszczać wyrażenia i wykonywać obliczenia.
- Przykład. Uprość wyrażenie.
4 5 m + 6 4 m + 2: 4 4 m + 3 = 4 5 m + 6 + m + 2: 4 4 m + 3 = 4 6 m + 8 - 4 m - 3 = 4 2 m + 5 - Przykład. Znajdź wartość wyrażenia, korzystając z właściwości wykładników.
= = =
=2 9 + 2 2 5
= 2 11 − 5 = 2 6 = 642 11 2 5 Ważny!
Proszę zauważyć, że we własności 2 mówiliśmy tylko o dzieleniu potęg o tych samych podstawach.
Nie możesz zastąpić różnicy (4 3 −4 2) liczbą 4 1. Jest to zrozumiałe, jeśli liczyć (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 i 4 1 = 4
Bądź ostrożny!
Nieruchomość nr 3
Podnoszenie stopnia do potęgiPamiętać!
Podnosząc stopień do potęgi, podstawa stopnia pozostaje niezmieniona, a wykładniki są mnożone.
(a n) m = a n · m, gdzie „a” jest dowolną liczbą, a „m”, „n” są dowolnymi liczbami naturalnymi.
Właściwości 4
Moc produktuPamiętać!
Podnosząc iloczyn do potęgi, każdy z czynników podnosi się do potęgi. Otrzymane wyniki następnie mnoży się.
(a b) n = a n b n, gdzie „a”, „b” są dowolnymi liczbami wymiernymi; „n” jest dowolną liczbą naturalną.
- Przykład 1.
(6 za 2 b 3 do) 2 = 6 2 za 2 2 b 3 2 do 1 2 = 36 za 4 b 6 do 2 - Przykład 2.
(-x 2 y) 6 = ((-1) 6 x 2 6 y 1 6) = x 12 y 6
Ważny!
Należy pamiętać, że właściwość nr 4, podobnie jak inne właściwości stopni, również stosuje się w odwrotnej kolejności.
(a n · b n)= (a · b) nOznacza to, że aby pomnożyć potęgi o tych samych wykładnikach, można pomnożyć podstawy, ale pozostawić wykładnik bez zmian.
- Przykład. Oblicz.
2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10 000 - Przykład. Oblicz.
0,5 16 2 16 = (0,5 2) 16 = 1
W bardziej złożonych przykładach mogą zaistnieć przypadki, w których należy wykonać mnożenie i dzielenie potęg o różnych podstawach i różnych wykładnikach. W takim przypadku zalecamy wykonanie następujących czynności.
Na przykład, 4 5 3 2 = 4 3 4 2 3 2 = 4 3 (4 3) 2 = 64 12 2 = 64 144 = 9216
Przykład podnoszenia ułamka dziesiętnego do potęgi.
4 21 (-0,25) 20 = 4 4 20 (-0,25) 20 = 4 (4 (-0,25)) 20 = 4 (-1) 20 = 4 1 = 4Właściwości 5
Potęga ilorazu (ułamka)Pamiętać!
Aby podnieść iloraz do potęgi, możesz oddzielnie podnieść dzielną i dzielnik do tej potęgi i podzielić pierwszy wynik przez drugi.
(a: b) n = a n: b n, gdzie „a”, „b” to dowolne liczby wymierne, b ≠ 0, n jest dowolną liczbą naturalną.
- Przykład. Przedstaw wyrażenie jako iloraz potęg.
(5: 3) 12 = 5 12: 3 12
Przypominamy, że iloraz można przedstawić jako ułamek. Dlatego bardziej szczegółowo omówimy temat podnoszenia ułamka do potęgi na następnej stronie.
- Przykład 1.
główny cel
Zapoznanie studentów z właściwościami stopni z wykładnikami naturalnymi i nauczenie ich wykonywania operacji na stopniach.
Temat „Stopień i jego właściwości” zawiera trzy pytania:
- Oznaczanie stopnia za pomocą wskaźnika naturalnego.
- Mnożenie i dzielenie potęg.
- Potęgowanie iloczynu i stopnia.
Pytania kontrolne
- Sformułuj definicję stopnia z wykładnikiem naturalnym większym niż 1. Podaj przykład.
- Sformułuj definicję stopnia z wykładnikiem 1. Podaj przykład.
- Jaka jest kolejność działań przy obliczaniu wartości wyrażenia zawierającego potęgi?
- Sformułuj główną właściwość stopnia. Daj przykład.
- Sformułuj zasadę mnożenia potęg o tych samych podstawach. Daj przykład.
- Sformułuj regułę dzielenia potęg o tych samych podstawach. Daj przykład.
- Sformułuj regułę potęgowania iloczynu. Daj przykład. Udowodnij tożsamość (ab) n = a n b n .
- Sformułuj regułę podnoszenia potęgi do potęgi. Daj przykład. Udowodnij tożsamość (a m) n = a m n .
Definicja stopnia.
Potęga liczby A z naturalnym wskaźnikiem N, większe niż 1, jest iloczynem n czynników, z których każdy jest równy A. Potęga liczby A z wykładnikiem 1 jest samą liczbą A.
Stopień z podstawą A i wskaźnik N jest napisane tak: oraz n. Brzmi: „ A do pewnego stopnia N”; „ n-ta potęga liczby A ”.
Z definicji stopnia:
za 4 = a a a a
. . . . . . . . . . . .
Znajdowanie wartości potęgi nazywa się przez potęgowanie .
1. Przykłady potęgowania:
3 3 = 3 3 3 = 27
0 4 = 0 0 0 0 = 0
(-5) 3 = (-5) (-5) (-5) = -125
25 ; 0,09 ;
25 = 5 2 ; 0,09 = (0,3) 2 ; .
27 ; 0,001 ; 8 .
27 = 3 3 ; 0,001 = (0,1) 3 ; 8 = 2 3 .
4. Znajdź znaczenie wyrażeń:
a) 3 10 3 = 3 10 10 10 = 3 1000 = 3000
b) -2 4 + (-3) 2 = 7
2 4 = 16
(-3) 2 = 9
-16 + 9 = 7
opcja 1
a) 0,3 0,3 0,3
c) b b b b b b
d) (-x) (-x) (-x) (-x)
e) (ab) (ab) (ab)
2. Przedstaw liczbę w postaci kwadratu:
3. Przedstaw liczby w postaci sześcianu:
4. Znajdź znaczenie wyrażeń:
c) -1 4 + (-2) 3
d) -4 3 + (-3) 2
e) 100 - 5 2 4
Mnożenie potęg.
Dla dowolnej liczby a i dowolnych liczb m i n obowiązuje:
za m za n = za m + n .
Dowód:
Reguła : Przy mnożeniu potęg o tych samych podstawach podstawy pozostają takie same, a wykładniki potęg są dodawane.
za m za n za k = za m + n za k = za (m + n) + k = za m + n + k
a) x 5 x 4 = x 5 + 4 = x 9
b) y 6 = y 1 y 6 = y 1 + 6 = y 7
c) b 2 b 5 b 4 = b 2 + 5 + 4 = b 11
d) 3 4 9 = 3 4 3 2 = 3 6
e) 0,01 0,1 3 = 0,1 2 0,1 3 = 0,1 5
a) 2 3 2 = 2 4 = 16
b) 3 2 3 5 = 3 7 = 2187
opcja 1
1. Obecny jako stopień:
a) x 3 x 4 e) x 2 x 3 x 4
b) a 6 a 2 g) 3 3 9
c) y 4 y h) 7 4 49
d) a a 8 i) 16 2 7
e) 2 3 2 4 j) 0,3 3 0,09
2. Przedstaw jako stopień i znajdź wartość z tabeli:
a) 2 2 2 3 c) 8 2 5
b) 3 4 3 2 d) 27 243
Podział stopni.
Dla dowolnej liczby a0 i dowolnych liczb naturalnych m i n takich, że m>n zachodzi:
za m: za n = za m - n
Dowód:
za m - n za n = za (m - n) + n = za m - n + n = za m
z definicji ilorazu:
za m: za n = za m - n .
Reguła: Przy dzieleniu potęg o tej samej podstawie podstawę pozostawia się taką samą, a wykładnik dzielnika odejmuje się od wykładnika dzielnej.
Definicja: Potęga liczby a, różnej od zera, z wykładnikiem zerowym, jest równa jeden:
ponieważ za n: za n = 1 w a0.
a) x 4: x 2 = x 4 - 2 = x 2
b) r 8: r 3 = r 8 - 3 = r 5
c) za 7:a = za 7:za 1 = za 7 - 1 = za 6
d) od 5:od 0 = od 5:1 = od 5
a) 5 7:5 5 = 5 2 = 25
b) 10 20:10 17 = 10 3 = 1000
V)
G)
D)
opcja 1
1. Przedstaw iloraz w postaci potęgi:
2. Znajdź znaczenie wyrażeń:
Podniesienie do potęgi produktu.
Dla dowolnego a i b oraz dowolnej liczby naturalnej n:
(ab) n = za n b n
Dowód:
Z definicji stopnia
(ab)n= 
Grupując oddzielnie czynniki a i b, otrzymujemy:
= 
Sprawdzona właściwość mocy iloczynu rozciąga się na moc iloczynu trzech lub więcej czynników.
Na przykład:
(a b do) n = za n b n do n ;
(za b do re) n = za n b n do n re n .
Reguła: Podnosząc iloczyn do potęgi, każdy czynnik jest podnoszony do tej potęgi, a wynik jest mnożony.
1. Podnieś do potęgi:
a) (a b) 4 = za 4 b 4
b) (2 x y) 3 =2 3 x 3 y 3 = 8 x 3 y 3
c) (3 a) 4 = 3 4 za 4 = 81 za 4
d) (-5 lat) 3 = (-5) 3 lat 3 = -125 lat 3
e) (-0,2 x y) 2 = (-0,2) 2 x 2 y 2 = 0,04 x 2 y 2
e) (-3 za b do) 4 = (-3) 4 za 4 b 4 do 4 = 81 za 4 b 4 do 4
2. Znajdź wartość wyrażenia:
a) (2 10) 4 = 2 4 10 4 = 16 1000 = 16000
b) (3 5 20) 2 = 3 2 100 2 = 9 10000= 90000
c) 2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10000
d) 0,25 11 4 11 = (0,25 4) 11 = 1 11 = 1
D)
opcja 1
1. Podnieś do potęgi:
b) (2 a c) 4
e) (-0,1 x y) 3
2. Znajdź wartość wyrażenia:
b) (5 7 20) 2
Podniesienie do potęgi potęgi.
Dla dowolnej liczby a i dowolnych liczb naturalnych m i n:
(a m) n = za m n
Dowód:
Z definicji stopnia
(a m) n = 
Reguła: Przy podnoszeniu potęgi do potęgi podstawa pozostaje taka sama, a wykładniki są mnożone.
1. Podnieś do potęgi:
(za 3) 2 = za 6 (x 5) 4 = x 20
(y 5) 2 = r 10 (b 3) 3 = b 9
2. Uprość wyrażenia:
a) za 3 (za 2) 5 = za 3 za 10 = za 13
b) (b 3) 2 b 7 = b 6 b 7 = b 13
c) (x 3) 2 (x 2) 4 = x 6 x 8 = x 14
d) (y 7) 3 = (y 8) 3 = r 24
A)
B)
opcja 1
1. Podnieś do potęgi:
a) (a 4) 2 b) (x 4) 5
c) (y 3) 2 d) (b 4) 4
2. Uprość wyrażenia:
a) 4 (za 3) 2
b) (b 4) 3 b 5+
c) (x 2) 4 (x 4) 3
d) (y 9) 2
3. Znajdź znaczenie wyrażeń:
Aplikacja
Definicja stopnia.
Opcja 2
1. Zapisz iloczyn w postaci potęgi:
a) 0,4 0,4 0,4
c) a a a a a a a
d) (-y) (-y) (-y) (-y)
e) (bс) (bс) (bс)
2. Przedstaw liczbę w postaci kwadratu:
3. Przedstaw liczby w postaci sześcianu:
4. Znajdź znaczenie wyrażeń:
c) -1 3 + (-2) 4
d) -6 2 + (-3) 2
e) 4 5 2 – 100
Opcja 3
1. Zapisz iloczyn w postaci potęgi:
a) 0,5 0,5 0,5
c) z z z z z z z z z
d) (-x) (-x) (-x) (-x)
e) (ab) (ab) (ab)
2. Przedstaw liczbę w postaci kwadratu: 100; 0,49; .
3. Przedstaw liczby w postaci sześcianu:
4. Znajdź znaczenie wyrażeń:
c) -1 5 + (-3) 2
d) -5 3 + (-4) 2
e) 5 4 2 - 100
Opcja 4
1. Zapisz iloczyn w postaci potęgi:
a) 0,7 0,7 0,7
c) x x x x x x
d) (-a) (-a) (-a)
e) (bс) (bс) (bс) (bc)
2. Przedstaw liczbę w postaci kwadratu:
3. Przedstaw liczby w postaci sześcianu:
4. Znajdź znaczenie wyrażeń:
c) -1 4 + (-3) 3
d) -3 4 + (-5) 2
e) 100 - 3 2 5
Mnożenie potęg.
Opcja 2
1. Obecny jako stopień:
a) x 4 x 5 e) x 3 x 4 x 5
b) a 7 a 3 g) 2 3 4
c) y 5 y h) 4 3 16
d) a a 7 i) 4 2 5
e) 2 2 2 5 j) 0,2 3 0,04
2. Przedstaw jako stopień i znajdź wartość z tabeli:
a) 3 2 3 3 c) 16 2 3
b) 2 4 2 5 d) 9 81
Opcja 3
1. Obecny jako stopień:
a) za 3 za 5 f) y 2 y 4 y 6
b) x 4 x 7 g) 3 5 9
c) b 6 b h) 5 3 25
d) y 8 i) 49 7 4
e) 2 3 2 6 j) 0,3 4 0,27
2. Przedstaw jako stopień i znajdź wartość z tabeli:
a) 3 3 3 4 c) 27 3 4
b) 2 4 2 6 d) 16 64
Opcja 4
1. Obecny jako stopień:
a) a 6 a 2 e) x 4 x x 6
b) x 7 x 8 g) 3 4 27
c) y 6 y h) 4 3 16
d) x x 10 i) 36 6 3
e) 2 4 2 5 j) 0,2 2 0,008
2. Przedstaw jako stopień i znajdź wartość z tabeli:
a) 2 6 2 3 c) 64 2 4
b) 3 5 3 2 d) 81 27
Podział stopni.
Opcja 2
1. Przedstaw iloraz w postaci potęgi:
2. Znajdź znaczenie wyrażeń:
Każda operacja arytmetyczna czasami staje się zbyt uciążliwa do napisania i starają się ją uprościć. Miało to kiedyś miejsce w przypadku operacji dodawania. Ludzie musieli wielokrotnie dodawać tego samego rodzaju, na przykład, aby obliczyć koszt stu perskich dywanów, których koszt wynosi 3 złote monety za każdy. 3+3+3+…+3 = 300. Ze względu na uciążliwość zdecydowano się skrócić zapis do 3*100 = 300. Tak naprawdę zapis „trzy razy sto” oznacza, że trzeba wziąć jeden sto trzy i dodać je do siebie. Mnożenie przyjęło się i zyskało powszechną popularność. Ale świat nie stoi w miejscu i w średniowieczu pojawiła się potrzeba przeprowadzania wielokrotnego rozmnażania tego samego typu. Pamiętam starą indyjską zagadkę o mędrcu, który w nagrodę za wykonaną pracę prosił o ziarno pszenicy w następujących ilościach: za pierwsze pole szachownicy prosił o jedno ziarno, za drugie - dwa, za trzecie - cztery, dla piątego - ósmego i tak dalej. Tak pojawiło się pierwsze mnożenie potęg, bo liczba ziaren była równa dwa do potęgi liczby komórek. Na przykład w ostatniej komórce będzie 2*2*2*...*2 = 2^63 ziaren, co równa się liczbie o długości 18 znaków, co w istocie jest znaczeniem zagadki.
Operacja potęgowania przyjęła się dość szybko i szybko pojawiła się potrzeba wykonywania dodawania, odejmowania, dzielenia i mnożenia potęg. To drugie warto rozważyć bardziej szczegółowo. Wzory na dodawanie potęg są proste i łatwe do zapamiętania. Ponadto bardzo łatwo jest zrozumieć, skąd się one biorą, jeśli operację potęgowania zastąpimy mnożeniem. Ale najpierw musisz zrozumieć podstawową terminologię. Wyrażenie a^b (czytaj „a do potęgi b”) oznacza, że liczbę a należy pomnożyć przez samą siebie b razy, przy czym „a” nazywa się podstawą potęgi, a „b” wykładnikiem potęgi. Jeśli podstawy stopni są takie same, wówczas wzory wyprowadza się po prostu. Konkretny przykład: znajdź wartość wyrażenia 2^3 * 2^4. Aby wiedzieć, co powinno się wydarzyć, powinieneś znaleźć odpowiedź na komputerze przed rozpoczęciem rozwiązania. Wpisując to wyrażenie do dowolnego kalkulatora internetowego, wyszukiwarki, wpisując „mnożenie potęg o różnych podstawach i tak samo” lub pakiet matematyczny, wynikiem będzie 128. Teraz wypiszmy to wyrażenie: 2^3 = 2*2*2, i 2^4 = 2*2*2*2. Okazuje się, że 2^3 * 2^4 = 2*2*2*2*2*2*2 = 2^7 = 2^(3+4) . Okazuje się, że iloczyn potęg o tej samej podstawie jest równy podstawie podniesionej do potęgi równej sumie dwóch poprzednich potęg.
Możesz pomyśleć, że to przypadek, ale nie: każdy inny przykład może tylko potwierdzić tę regułę. Zatem ogólnie wzór wygląda następująco: a^n * a^m = a^(n+m) . Istnieje również zasada, że każda liczba do potęgi zerowej jest równa jeden. Warto tu pamiętać o zasadzie potęg ujemnych: a^(-n) = 1 / a^n. Oznacza to, że jeśli 2^3 = 8, to 2^(-3) = 1/8. Korzystając z tej reguły, możesz udowodnić ważność równości a^0 = 1: a^0 = a^(n-n) = a^n * a^(-n) = a^(n) * 1/a^( n) , a^ (n) można zmniejszyć i pozostaje jedno. Stąd wyprowadzana jest reguła, że iloraz potęg o tych samych podstawach jest równy tej podstawie w stopniu równym ilorazowi dzielnej i dzielnika: a^n: a^m = a^(n-m) . Przykład: uprość wyrażenie 2^3 * 2^5 * 2^(-7) *2^0: 2^(-2) . Mnożenie jest operacją przemienną, dlatego należy najpierw dodać wykładniki mnożenia: 2^3 * 2^5 * 2^(-7) *2^0 = 2^(3+5-7+0) = 2^1 =2. Następnie musisz uporać się z dzieleniem przez moc ujemną. Należy odjąć wykładnik dzielnika od wykładnika dzielnej: 2^1: 2^(-2) = 2^(1-(-2)) = 2^(1+2) = 2^3 = 8. Okazuje się, że operacja dzielenia przez stopień ujemny jest identyczna z operacją mnożenia przez podobny dodatni wykładnik. Zatem ostateczna odpowiedź to 8.
Istnieją przykłady, w których ma miejsce niekanoniczne mnożenie potęg. Mnożenie potęg o różnych podstawach jest często znacznie trudniejsze, a czasem wręcz niemożliwe. Należy podać kilka przykładów różnych możliwych technik. Przykład: uprość wyrażenie 3^7 * 9^(-2) * 81^3 * 243^(-2) * 729. Oczywiście następuje mnożenie potęg o różnych podstawach. Należy jednak zauważyć, że wszystkie podstawy są różnymi potęgami trójki. 9 = 3^2,1 = 3^4,3 = 3^5,9 = 3^6. Korzystając z reguły (a^n) ^m = a^(n*m) należy przepisać wyrażenie w wygodniejszej formie: 3^7 * (3^2) ^(-2) * (3^4) ^3 * ( 3^5) ^(-2) * 3^6 = 3^7 * 3^(-4) * 3^(12) * 3^(-10) * 3^6 = 3^(7 -4+12 -10+6) = 3^(11) . Odpowiedź: 3^11. W przypadkach, gdy istnieją różne podstawy, reguła a^n * b^n = (a*b) ^n działa dla równych wskaźników. Na przykład 3^3 * 7^3 = 21^3. W przeciwnym razie, gdy podstawy i wykładniki są różne, nie można wykonać pełnego mnożenia. Czasami można częściowo uprościć lub skorzystać z pomocy technologii komputerowej.
